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Die komplexen Zahlen \(\mathbb{C}\)

Bei den reellen Zahlen ({{!chutil.a("r.ci")}}) haben wir immer wieder neue Mengen zu den “Zahlen” hinzu genommen.

Das machen wir bei folgendem Problem auch.

\(x^2\) nimmt nur positive Werte an.

Wenn wir ein “Zahl” \(i\) erfinden die \(i^2=-1\) ergibt, dann deckt \(x^2\) mit den Vielfachen von \(i\) die ganzen negativen Zahlen ab. \(i\) nennen man imaginäre Einheit.

\(i\) und deren Vielfache haben mit den reellen Zahlen vorerst nichts zu tun. Sie sind orthogonal zu \(\mathbb{R}\). Orthogonal bedeutet, dass alle Kombinationen zulässig sind und das entspricht einer Ebene, der komplexen Zahlenebene oder Gaussschen Zahlenebene.

\(z = a + ib \in \mathbb{C}\)

Das ist wie ein zweidimensionaler Vektor: 2 orthogonale Richtungen unabhängig addiert.

Es gibt drei Darstellungen

Aber nun folgendes:

Allgemein: Multiplikation mit \(i\) macht eine Drehung um den rechten Winkel, per Konvention nach links.

Weiters: Multiplikation addiert den Winkel dazu, d.h. Multiplikation führt zur Addition des Winkels. Das lässt einen vermuten, dass es eine Darstellung geben könnte, die den Winkel im Exponenten hat. Reihenentwicklung von \(\sin\) und \(\cos\) und \(e^x\) in der Analysis und Vergleich ergibt die Eulersche Formel:

\(z=re^{i\varphi}\) ist die Normaldarstellung komplexer Zahlen.

Von \(\sin\) und \(\cos\) weiß man, dass sie die Periode \(2\pi\) haben, so auch \(e^{i\varphi}\). Die n-te Wurzel teilt alle Perioden bis \(2n\pi\) auf unter \(2\pi\) und somit zu n unterschiedlichen Werten:

\[z^{1/n}=r^{1/n}e^{i(\varphi/n+2k\pi/n)}\]

Allgemeiner:

In \(\mathbb{C}\) hat jedes Polynom n-ten Grades genau n Nullstellen (Hauptsatz der Algebra). Davon können manche aber zusammenfallen. \(\mathbb{C}\) heißt deshalb algebraisch abgeschlossen.

Das heißt, dass nicht nur \(x^2\), sondern alle Polynome ganz \(\mathbb{C}\) auf ganz \(\mathbb{C}\) abbilden. Es geht keine Information verloren.

Hinweis

In der Funktionentheorie erfährt man, das sich das auf alle Funktionen ausdehnen lässt, die in ganz \(\mathbb{C}\) unendlich oft differenzierbar (analytisch, holomorph) sind (ganze Funktionen), da sie sich in Taylorreihen entwickeln lassen.

Weiteres:

Anwendung von \(\mathbb{C}\)

Da \(\mathbb{C}\) eine Erweiterung von \(\mathbb{R}\) darstellt, kann man alles mit \(\mathbb{C}\) machen, was man mit \(\mathbb{R}\) macht. Das essentiell Neue an \(\mathbb{C}\) sind aber alle Richtungen, statt nur \(+\) und \(-\).

Was heißt Richtung?

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Die komplexen Zahlen werden in der Physik und Technik im Umfeld von Schwingungen und Wellen verwendet, und davon gibt es viele:

Letztendlich basieren diese Anwendungen auf dem uneingeschränkteren Rechnen in \(\mathbb{C}\) und auf den mathematisch auf \(\mathbb{C}\) aufbauenden Ergebnissen etwa der Funktionentheorie.

Viele physikalische Systeme werden mit Differentialgleichungen beschrieben. Diese reduzieren sich auf Polynome mit komplexen Lösungen (Fundamentalsatz der Algebra) und führen zu komplexen Funktionen.