%path = "Mathe/Funktionen/Integral von 1÷z" %kind = chindnum["Texte"] %level = 12

Aus der reellen Analysis wissen wir, dass \(\frac{dy}{dx}=\frac{d\,e^x}{dx}=e^x=y\), weswegen die Umkehrung \(\frac{dx}{dy}=\frac{d\,\ln y}{dy}=\frac{1}{y}\) für \(y>0\). Für die Stammfunktion von \(\frac{1}{y}\) kann man auch negative \(y\) mit einschließen, wenn man den Betrag nimmt: \(\int\frac{1}{y}dy=ln|y|+C\). Das ergibt sich aus der Symmetrie von \(\frac{1}{y}\). Bei 0 besteht eine Singularität, d.h. man kann dort nicht darüber integrieren.

In \(\mathbb{C}\) ist \(e^z=e^{x+iy}=e^xe^{iy}\), d.h. der Realteil wird Betrag \(e^x\) und der Imaginärteil wird Argument des Wertes. Daher kommt auch die Periode \(2\pi i\) entlang der imaginären Achse. Die Stammfunktion von \(\frac{1}{z}\) ist die Umkehrfunktion von \(e^z\), d.h. der Betrag wird Realteil \(ln|z|\) und das Argument wird Imaginärteil:

\(\int \frac{1}{z}dz=ln|z|+i\arg(z)+C\).

In \(\mathbb{C}\) kann man um die Singularität herum integrieren:

\[\oint_{|z|=1}\frac{1}{z}dz = (\ln|z| + i\arg z)\bigr|_{\arg z=0,\,|z|=1}^{\arg z=2\pi,\,|z|=1} = 2\pi i\]

Das ist ein Vorläufer des Residuensatzes.