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In der Mathematik so wie im täglichen Leben wird versucht, das Konkrete, das sich wiederholt, einmal zu beschreiben und dann darauf zu verweisen. Dieses Gemeinsame vieler Beobachtungen ist abstrakt. Das macht viele Beschreibungen kürzer und vermindert vor allem den Gesamtumfang.

Für Lernende ist es aber oft schwierig, die Verbindung mit dem Konkreten wieder aufzubauen. Abstrakte Definitionen und Sätze werden deshalb am besten mit Kommentaren begleitet über ihre Motivation, ihre Reichweite, mit Beispielen oder Anwendungen.

Normalerweise geht man vom Abstracten aus, findet Gemeinsamkeit durch Vergleichen und das nennt man Analyse. Das Resultat der Analyse ist eine Abstraktion. Informationstechnisch ist das Reduktion von Redundanz oder Kompression. Es ist ein grundlegender, im Grunde alltäglicher, kognitiver Vorgang.

Hinweis

Als Werkzeug zur Abstraktion wird oft die Äquivalenzrelation herangezogen. (= reflexive, symmetrische und transitive Relation, \(\sim\)) Dabei konzentriert man sich auf eine (einige) Eigenschaft(en) und lässt anderes weg. Alle Elemente mit einer Ausprägung der Eigenschaft (= Wert der Variable) sind äquivalent und bilden zusammen eine Äquivalenzklasse. Alle Äquivalenzklassen bilden die Quotientenmenge \(M/\sim\), eine Menge von disjunkten Teilmengen von \(M\).

Abstrakte Beschreibungen können neu kombiniert werden (Synthese). Das ist auch das Grundprinzip der Kreativität.