%path = "Mathe/Zahlen/Kombination mit Operationen" %kind = chindnum["Texte"] %level = 9

Kombiniert man mit der Anzahl, also der natürlichen Zahl, den Vorgang (Operation) des Hinzufügens und dessen Umkehrung, dann kommt man zu den ganzen Zahlen.

\[\mathbb{Z} = \mathbb{N}\times\{+,-\}\]

Wiederholung des Hinzufügen ist Vervielfachung.

Kombiniert man mit der ganzen Zahl den Vorgang (Operation) des Vervielfachens und dessen Umkehrung, dann kommt man zu den rationalen Zahlen.

\[\begin{split}\mathbb{Q} = \mathbb{Z}\times\{+,-\}\\ \mathbb{Q} = \mathbb{N}\times\{+,-\}\times\{\cdot,\div\}\end{split}\]

Wiederholen des Vervielfachens ist Potenzieren.

Nicht mehr so analog, aber prinzipiell erhält man durch Kombination der rationalen Zahlen mit dem Potenzieren eine Erweiterung, die algebraischen Zahlen.

Bis jetzt wurden Zahlen mit Vorgängen/Operation kombiniert. Das ist ein Algorithmus. Erlaubt man auch nicht endende Algorithmen, dann schließt man die irrationalen Zahlen (algebraische und transzendente Zahlen) mit ein und erweitert zu den reellen Zahlen mathbb{R}.

Hinweis

Endlicher oder unendlicher Algorithmus: \(\sqrt{2}\) ist mit den Grundrechnungsarten ausgedrückt ein unendlicher Algorithmus. Wertet man \(\sqrt{2}\) nicht aus, sondern hantiert symbolisch mit ihm, dann ist das wieder ein endlicher Algorithmus.