%path = "Mathe/Funktionen/Funktionsgraph" %kind = chindnum["Texte"] %level = 10
Anleitung: Wenn man die Werte in einem Feld ändert und auf ein anderes Feld klickt, bleibt die alte Kurve erhalten (zum Vergleichen). Mit Klick auf [-1-] wird nur die eine letzte Kurve dargestellt.
Eine Funktionsgleichung (etwa y=1/x),
gibt eine Abhängigkeit zwischen x und y wieder.
Man wählt oft x als unabhängige Variable (Urbildmenge, Definitionsbereich)
und y als abhängige Variable (Wertebereich, Bildmenge).
Abgrenzung: Nicht jede Funktion hat eine Gleichung und nicht jede Funktion kann als Kurve dargestellt werden.
Wenn y gegeben ist und x daraus berechnet werden kann, dann vertauscht man die Buchstaben. Das ist dann die Umkehrfunktion. Graphisch ergibt sie sich durch Spiegelung an y=x.
Übung: Oben a=1, n=1, u=0, v=0. Das ist y=x.
Man macht eine Tabelle mit 2 Spalten. Eine Spalte nennt man x die andere y.
Man wählt mehrere Werte für x aus und trägt sie in die Tabelle in Spalte x ein.
Man berechnet y nach Funktionsgleichung für jedes x und trägt sie in die Tabelle in Spalte y ein.
Man zieht die Werte aus einer Wertetabelle heran, zeichnet sie in ein Koordinatensystem ein und verbindet die Punkte. Hier macht das der Computer. Das sollte jedoch auch auf einem Blatt Papier gemacht werden.
Übung: Zeichne den Graphen für y=1/x auf einem Blatt Papier. Nimm positive und negative Werte für x. Was ist mit 0?
\(y=x^n\)
Übung:
a=1, n=2, u=0, v=0
Symmetrisch bzgl. was?
a=1, n=3, u=0, v=0.
Symmetrisch bzgl. was?
Gerade Hochzahl bedeutet, dass die Kurve symmetrisch zur y Achse ist.
Versuche n=4,
n=6,...
Ungerade Hochzahl bedeutet, dass die Kurve punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
Versuche n=3,
n=5,...
\(y=x^(1/n)\)
z.B. \(y=x^(1/2)\)
\((x^2)^{(1/2)}=x^{(2/2)}=x\). Wenn die Hochzahl 1/2=0.5 ist, dann ist das die Umkehrung von "hoch 2".
Man schreibt das auch in Wurzelschreibweise: \(\sqrt{x}=x^{0.5}\).
\(x^{0.1}=x^{1/10}\) ist die 10ner Wurzel von x, also die Umkehrung von \(x^{10}\).
Wurzeln sind in ℝ nur für positive Zahlen definiert, deshalb sieht man bei n=0.5 nur den rechten Teil. Das gleiche gilt für alle nicht-ganzzahligen Hochzahlen.
Übung:
a=1, n=0.5, u=0, v=0.
[-1-] drücken.
Wieder auf das n Feld klicken, dann 2 eingeben und auf ein anderes Feld wechseln, nicht [-1-].
Wieder auf das n Feld klicken, dann 1 eingeben und auf ein anderes Feld wechseln, nicht [-1-].
Vergleiche die beiden Kurven im ersten Quadranten (oben rechts) mit y=x.
\(y=x^n\), n negative.
\(y=x^{-2}=1/x^2\), d.h. negative Hochzahl liefert den Kehrwert. Dort wo \(x^n\) groß ist, wird \(x^{-n}\) klein und umgekehrt.
Symmetrie ist bei negativem n gleich wie bei positivem.
Bei x=0, kann man \(1/x^n\) nicht berechnen, da unendlich. Das nennt man einen Pol.
Übung:
a=1, n=1, u=0, v=0
a=1, n=-1, u=0, v=0
Vergleiche.
a=1, n=2, u=0, v=0
a=1, n=-2, u=0, v=0
Vergleiche.
a=1, n=3, u=0, v=0
a=1, n=-3, u=0, v=0
Vergleiche.
\(y=a(x-u)^n + v\)
Übung:
Ausgehend von a=1, n=2, u=0, v=0
setze u auf
-2,
-1,
0,
1,
2,...
setze v auf
-2,
-1,
0,
1,
2,...
Verschiebung durch u,v. Ersetzt man x durch x-u, dann wandert der Graph um u nach rechts, bzw. nach links, wenn u negativ ist.
Setze also u=2, dann u gleich -2. Bei u=-2 ist x-(-2) = x+2.
Streckung/Stauchung/Kopfstellen durch a.
Ausgehend von a=
1,
wenn a größer wird (etwa a=
2),
dann wird die Kurve gestreckt.
Wenn a=
0.5
ist oder noch kleiner, dann wird die Kurve gestaucht.
Mit a=
-1,
wird die Parabel (n=2) nach unten geöffnet.
\(y=b^x\)
z.B. \(y=2^x\)
Übung:
Rechne im Kopf für b=2 einige Funktionswerte aus, für etwa x=-3,-2,-1,0,1,2,3
Beachte: \(b^0 = 1\), unabhängig von der Basis.
Wähle oben Exponentialfunktion aus.
Setze
a=1, b=2, u=0, v=0
Drücke [-1-]
Ändere die Basis b auf
3,
4,
5,...
Rechne im Kopf für b=1/2 einige Funktionswerte aus, für etwa x=-3,-2,-1,0,1,2,3
Dann oben
a=1, b=0.5, u=0, v=0
Vergleiche mit Basis b=2
Den gleichen Unterschied wie zwischen b=2 und b=0.5 erhält man beim Ersetzen von x durch -x.
Versuche auch a negative zu machen und u und v zu verändern.
Die Exponentialfunktion \(y=b^x\) ist auf ganz ℝ definiert.
Logarithmus steht für Hochzahl. Also 2er Logarithmus von 8 ist die "2er Hochzahl von 8". Oder:
2 hoch 2er Logarithmus von 8 ist 8.
2 hoch 2er Logarithmus von 16 ist 16.
...
\(b^{(log_b(z))}=z\)
Weil die Hochzahl bei Multiplikation addiert wird, bzw. bei Division subtrahiert, gilt:
\(\log{ab}=\log(a)+\log(b)\)
\(\log{\frac{a}{b}}=\log(a)-\log(b)\)
Entsprechend gilt wegen \(u^{v^w}=u^{vw}\)
\(\log_b(c^d)=d\cdot\log_b(c)\) (\(=\log_b(b^{\log_b(c)\cdot d})\))
Übung:
Berechne im Kopf den Logarithmus zur Basis 2 von 1/32,1/16,1/8,1/4,1/2,0,2,4,8,16,32,...
Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrung der Exponentialfunktion.
Der Funktionsgraph des Logarithmus ergibt sich aus der Exponentialfunktion durch Spiegelung an y=x.
Übung:
Oben Logarithmus mit b=2, u=0, v=0
Vergleich den Graphen mit den im Kopf berechneten Werten.
Beachte: log 1 = 0, unabhängig von der Basis.
Verändere die Basis. (Sie darf aber nicht 1 sein, wieso?):
0.25,
0.5,
0.75,
3,
5,...