📄 静态离线 HTML（公式已用 KaTeX 预渲染，零脚本零网络，秒开）

# 坐标化三件套：把抽象 Hilbert 空间搬到 ℓ 2

> 一句话：想把一个抽象的 Hilbert 空间 H 等距搬到序列空间 ℓ 2，永远是「基 → 展开系数」。 三件套分工： 1. ONB（标准正交基）——先有一组"坐标轴"； 2. 系数映射 U:x↦(⟨x,e n​⟩)n​——把向量写成它在各轴上的坐标； 3. Parseval + Riesz–Fischer——Parseval 管「等距 + 单射」，Riesz–Fischer 管「满射」。

> 记住这对分工，"可分 ≅ℓ 2"一类题基本就是填空。本文先把流程与每一步的"为什么"讲透，再给一组分级练习（解答附在最后，建议先自己做）。

## 〇、记号与约定

- H：（复或实）Hilbert 空间，内积 ⟨⋅,⋅⟩，范数 ∥x∥=⟨x,x⟩
  ​。
- 内积约定：对第一变元线性、第二变元共轭线性（即 ⟨λ x,y⟩=λ⟨x,y⟩，⟨x,λ y⟩=λ ˉ⟨x,y⟩）。这条约定决定了系数取 ⟨x,e n​⟩ 时 U 自动线性，务必固定一种约定。
- 标准正交系（orthonormal system）：⟨e m​,e n​⟩=δ mn​ 的一组向量。
- 标准正交基 / ONB（orthonormal basis）：张成稠密（span​{e n​}=H）的标准正交系。注意：ONB ≠ 代数基（Hamel 基），它允许"无穷线性组合"（级数）。
- ℓ 2：平方可和序列 (c n​)，∥(c n​)∥2=∑n​∣c n​∣2<∞，本身是 Hilbert 空间。
- 等距同构（isometric isomorphism）：线性、双射、且保范 ∥Ux∥=∥x∥ 的映射。两个 Hilbert 空间等距同构意味着它们"作为 Hilbert 空间完全一样"。

## 一、流程详解：三步走

### 第 0 步（前置）：确认有可数 ONB —— 这一步用到"可分"

整套流程要落到 ℓ 2（下标是 N，可数），前提是 H 有一组可数 ONB。

> 关键事实：H 可分 ⟺ H 有 ONB，且该 ONB 为有限或可数无穷。

- 怎么造：取可数稠密子集 {v k​}，做 Gram–Schmidt 正交化（途中扔掉线性相关项），得到标准正交系 {e n​}，其 span 包含 {v k​} 故稠密——于是它是 ONB。
- "可分"这个词在 Hilbert 空间里几乎只有这一个用途：保证基是可数的，从而能映到 ℓ 2（而不是更大的 ℓ 2(Γ)）。看到"可分"就翻译成"可数 ONB"。
- 维数提醒：若 H 有限维（dim=N），ONB 只有 N 个，得到 H≅C N=ℓ N 2​，它与无穷维 ℓ 2 不等距同构。所以"可分无穷维 ≅ℓ 2"里"无穷维"这三个字不能省。

### 第 1 步：定义系数映射 U

U:H→ℓ 2,Ux=(⟨x,e n​⟩)n≥1​.

每个分量 ⟨x,e n​⟩ 叫 x 的第 n 个 Fourier 系数（抽象意义）。U 的线性是显然的——因为内积对第一变元线性： ⟨αx+β y,e n​⟩=α⟨x,e n​⟩+β⟨y,e n​⟩.

### 第 2 步：Parseval ⟹ 良定义 + 等距 + 单射

> Parseval 恒等式（ONB 的定义性质）：对一切 x∈H， ∥x∥2=n∑​∣⟨x,e n​⟩∣2.

它一口气给三件事： 1. 良定义：右端有限 ⇒Ux=(⟨x,e n​⟩)∈ℓ 2（确实落在 ℓ 2 里）； 2. 等距：∥Ux∥ℓ 2 2​=∑∣⟨x,e n​⟩∣2=∥x∥2，即 ∥Ux∥=∥x∥； 3. 单射：等距自动单射——Ux=0⇒∥x∥=∥Ux∥=0⇒x=0。

> 比 Parseval 弱、对任意标准正交系（不必完备）都成立的是 Bessel 不等式 ∑∣⟨x,e n​⟩∣2≤∥x∥2。Bessel（≤）升级为 Parseval（=）的充要条件恰是"这组系完备"（即是 ONB）。这正是"为什么必须是 ONB 而不只是正交系"的根。

### 第 3 步：Riesz–Fischer ⟹ 满射

> Riesz–Fischer 定理：对任意 (c n​)∈ℓ 2，级数 ∑n​c n​e n​ 在 H 中收敛。

证满射就靠它：任取 (c n​)∈ℓ 2，令 x=∑n​c n​e n​∈H，则 ⟨x,e k​⟩=⟨n∑​c n​e n​,e k​⟩=c k​(内积连续，逐项取；详见 C1 附注), 即 Ux=(c n​)。故 U 满射。

Riesz–Fischer 为什么成立（这一步用 H 完备）：部分和 s N​=∑n≤N​c n​e n​ 满足 ∥s N​−s M​∥2=M<n≤N∑​∣c n​∣2
N>M→∞​0(因 (c n​)∈ℓ 2), 故 {s N​} 是 Cauchy 列，由 H 完备收敛。

### 收尾

U 线性（第 1 步）+ 等距、单射（第 2 步）+ 满射（第 3 步）⇒ U 是等距同构，H≅ℓ 2。■

## 二、把三件套画成一张流程图

            可分(+无穷维)
                │  Gram–Schmidt
                ▼
       ┌──────────────────┐
       │ 第0步：可数 ONB {eₙ} │   ← "可分"唯一的用处：保证基可数
       └──────────────────┘
                │
                ▼  定义坐标
       ┌──────────────────────────────┐
       │ 第1步：U x = (⟨x,eₙ⟩)ₙ   （线性，内积第一变元线性）│
       └──────────────────────────────┘
                │
          ┌─────┴───────────────┐
          ▼                     ▼
     ┌───────────┐        ┌─────────────┐
     │第2步 Parseval│        │第3步 Riesz–Fischer│
     │ ‖x‖²=Σ|⟨x,eₙ⟩|²│        │(cₙ)∈ℓ² ⟹ Σcₙeₙ 收敛│
     │ ⟹ 良定义/等距/单射│        │ ⟹ 满射 (用 H 完备)│
     └───────────┘        └─────────────┘
          └─────────┬───────────┘
                    ▼
            U 线性+等距+双射 = 等距同构
                    H ≅ ℓ²

## 三、常见陷阱（阅卷高频扣分点）

1. 把"标准正交系"当成"ONB"用：只有完备（张成稠密）的系才有 Parseval（等号）；一般正交系只有 Bessel（不等号）。Parseval 的等号 = 完备性的化身，用之前要先说清 {e n​} 是 ONB。
2. 漏掉"可分 ⟹ 可数"这一步：直接说"取 ONB 映到 ℓ 2"而不交代基为何可数，是丢分点。可分正是用在这里。
3. 有限维硬塞进无穷维 ℓ 2：C N≅ℓ 2。题目说"可分无穷维"才落到无穷维 ℓ 2。
4. 满射不证收敛：∑c n​e n​ 收敛不是显然的，必须用 (c n​)∈ℓ 2 给 Cauchy + H 完备。这是 Riesz–Fischer 的核心，省不得。
5. 内积约定不一致：系数取 ⟨x,e n​⟩ 还是 ⟨e n​,x⟩、线性在第几个变元——开头固定一种，全程别换，否则 U 的线性会"看起来"出问题。

## 四、练习题（先自己做，解答见第五节）

> 难度递增：W = 热身（搭骨架），C = 核心（三件套的零件），A = 应用（组装/变形）。 每题给一句思路提示，对应三件套的哪一环。

### W1（系数 = 内积；有限 Parseval）

设 {e 1​,…,e N​} 是 H 的标准正交系，x=∑k=1 N​a k​e k​。证明： (a) ⟨x,e j​⟩=a j​；(b) ∥x∥2=∑k=1 N​∣a k​∣2。

> 提示：直接用 ⟨e m​,e n​⟩=δ mn​ 展开。这是"系数映射"在有限维的原型。

### W2（Bessel 不等式 —— Parseval 的前身）

设 {e n​}n≥1​ 是标准正交系（不必完备）。证明对任意 x∈H， n=1∑∞​∣⟨x,e n​⟩∣2≤∥x∥2.

> 提示：考虑部分和 s N​=∑n≤N​⟨x,e n​⟩e n​，展开 ∥x−s N​∥2≥0。

### C1（Riesz–Fischer 的收敛 —— 满射引擎）

设 {e n​} 是标准正交系，(c n​)∈ℓ 2。证明 ∑n​c n​e n​ 在 H 中收敛。

> 提示：证部分和是 Cauchy 列（算 ∥s N​−s M​∥2），再用 H 完备。

### C2（完备性的三等价 —— 何时 Bessel 升级为 Parseval）

设 {e n​} 是标准正交系。证明以下等价： (i) {e n​} 是 ONB（span​{e n​}=H）； (ii) Parseval ∥x∥2=∑∣⟨x,e n​⟩∣2 对一切 x 成立； (iii) 若 ⟨x,e n​⟩=0 对一切 n，则 x=0。

> 提示：(i)⟹(ii) 用"s N​ 是到 span{e 1​..e N​} 的最佳逼近 + 稠密"；(ii)⟹(iii) 代入；(iii)⟹(i) 用投影定理找 ⊥ 向量。

### A1（主定理：可分无穷维 ≅ℓ 2）

设 H 是可分无穷维 Hilbert 空间。证明存在等距同构 U:H→ℓ 2。

> 提示：把第 0–3 步组装。Gram–Schmidt 造 ONB → Ux=(⟨x,e n​⟩) → Parseval 等距单射 → Riesz–Fischer 满射。

### A2（两个可分无穷维 Hilbert 空间彼此同构）

设 H 1​,H 2​ 都是可分无穷维 Hilbert 空间。证明 H 1​≅H 2​（等距同构）。

> 提示：别重证一遍，直接复合 A1：H 1​≅ℓ 2≅H 2​，等距同构的逆与复合仍是等距同构。

### A3（具体版：Fourier 系数映射）

在 L 2([−π,π]) 上，{e n​(t)=e in t/2 π
​}n∈Z​ 是 ONB（可直接引用）。记 f^​(n)=⟨f,e n​⟩。 (a) 写出 Parseval 给出的 ∥f∥L 2 2​ 的级数表达； (b) 说明 f↦(f^​(n))n∈Z​ 是 L 2([−π,π])→ℓ 2(Z) 的等距同构。

> 提示：这就是三件套的"实例代入"，下标集换成 Z（可数即可）。

### A4（变形：把 ONB 映到 ONB 的线性映射是酉的）

设 {e n​} 是 H 的 ONB，{f n​} 是 K 的 ONB（H,K 同为可分无穷维 Hilbert 空间）。定义 U 由 U e n​=f n​ 线性延拓（即 U(∑c n​e n​)=∑c n​f n​）。证明 U 是 H→K 的等距同构。

> 提示：对 x=∑⟨x,e n​⟩e n​，算 ∥Ux∥2 用 {f n​} 的 Parseval；满射用 {f n​} 张成稠密 + 等距像闭。这题说明："ONB↔ONB 的对应"天然给出酉等价。

## 五、参考解答

### W1 解

(a) ⟨x,e j​⟩=⟨k=1∑N​a k​e k​,e j​⟩=k=1∑N​a k​⟨e k​,e j​⟩=k=1∑N​a k​δ kj​=a j​. (b) ∥x∥2=⟨k∑​a k​e k​,m∑​a m​e m​⟩=k,m∑​a k​a ˉ m​⟨e k​,e m​⟩=k,m∑​a k​a ˉ m​δ km​=k=1∑N​∣a k​∣2. ■

> 这就是"系数映射 + Parseval"在有限维的原型：x↔(a 1​,…,a N​) 保范，H fin​≅C N。

### W2 解（Bessel）

记 s N​=∑n=1 N​⟨x,e n​⟩e n​。展开（注意第二变元共轭线性）： ⟨x,s N​⟩=n≤N∑​⟨x,e n​⟩​⟨x,e n​⟩=n≤N∑​∣⟨x,e n​⟩∣2, ∥s N​∥2=n,m≤N∑​⟨x,e n​⟩⟨x,e m​⟩​⟨e n​,e m​⟩=n≤N∑​∣⟨x,e n​⟩∣2. 于是 0≤∥x−s N​∥2=∥x∥2−2 Re⟨x,s N​⟩+∥s N​∥2=∥x∥2−n≤N∑​∣⟨x,e n​⟩∣2. 即 ∑n≤N​∣⟨x,e n​⟩∣2≤∥x∥2 对所有 N；令 N→∞ 得 Bessel。■

> 关键观察：上式还顺带说明 ∥x−s N​∥2=∥x∥2−∑n≤N​∣⟨x,e n​⟩∣2。当 {e n​} 是 ONB（s N​→x）时左端 →0，立刻升级成 Parseval——这正是 C2 里 (i)⟹(ii) 的引擎。

### C1 解（Riesz–Fischer 收敛）

记 s N​=∑n≤N​c n​e n​。对 N>M，由正交性 ∥s N​−s M​∥2=
​M<n≤N∑​c n​e n​
​2=M<n≤N∑​∣c n​∣2. 因 (c n​)∈ℓ 2，级数 ∑∣c n​∣2 收敛，其尾和 →0，故上式 →0，即 {s N​} 是 Cauchy 列。由 H 完备，s N​ 收敛到某 x∈H，即 ∑n​c n​e n​=x 收敛。■

> 附带：由内积连续，⟨x,e k​⟩=lim N​⟨s N​,e k​⟩=lim N​∑n≤N​c n​⟨e n​,e k​⟩=c k​。这一句是 A1 里"Ux=(c n​)"的依据。

### C2 解（三等价）

(i)⟹(ii)： 由 W2 的恒等式，∥x−s N​∥2=∥x∥2−∑n≤N​∣⟨x,e n​⟩∣2，故只需证 s N​→x。注意 s N​ 是 x 到 span{e 1​,…,e N​} 的正交投影（因 x−s N​⊥e 1​,…,e N​），从而是该子空间里对 x 的最佳逼近。给定 ε>0，由 (i) 张成稠密，存在有限组合 y=∑n≤M​b n​e n​ 使 ∥x−y∥<ε。当 N≥M 时 y∈span{e 1​,…,e N​}，故 ∥x−s N​∥≤∥x−y∥<ε。于是 s N​→x，代入得 Parseval。

(ii)⟹(iii)： 若 ⟨x,e n​⟩=0 对一切 n，则 ∥x∥2=∑n​0=0，故 x=0。

(iii)⟹(i)： 设 M=span​{e n​}。若 M=H，M 是闭真子空间，由投影定理 H=M⊕M⊥ 且 M⊥={0}，取 0=z∈M⊥，则 ⟨z,e n​⟩=0 对一切 n；由 (iii) z=0，矛盾。故 M=H，即 {e n​} 是 ONB。■

> 这三条是"{e n​} 够不够格当坐标轴"的等价检验。(iii) 最好用：要判一个正交系是不是 ONB，就看"和所有 e n​ 都正交的向量是否只有 0"。

### A1 解（主定理）

H 可分，取可数稠密集，Gram–Schmidt 得可数标准正交系 {e n​}，其张成含稠密集故稠密——是 ONB；因 H 无穷维，{e n​} 可数无穷。定义 U:H→ℓ 2, Ux=(⟨x,e n​⟩)n​。 - 线性：内积第一变元线性 ⇒U 线性。 - 良定义 + 等距 + 单射：由 Parseval（C2 给出，因 {e n​} 是 ONB），∥Ux∥ℓ 2 2​=∑∣⟨x,e n​⟩∣2=∥x∥2，故 Ux∈ℓ 2、∥Ux∥=∥x∥、单射。 - 满射：任取 (c n​)∈ℓ 2，由 C1（Riesz–Fischer）x=∑c n​e n​∈H 收敛，且 ⟨x,e k​⟩=c k​，即 Ux=(c n​)。

故 U 是线性等距双射，H≅ℓ 2。■

### A2 解（彼此同构）

由 A1，存在等距同构 U 1​:H 1​→ℓ 2、U 2​:H 2​→ℓ 2。等距同构的逆映射仍是等距同构（U 2−1​ 线性双射且 ∥U 2−1​y∥=∥y∥），等距同构的复合仍是等距同构。故 U 2−1​∘U 1​:H 1​→H 2​ 线性、双射、保范，即 H 1​≅H 2​。■

> 推论："所有可分无穷维 Hilbert 空间本质上是同一个空间"——L 2[0,1]、ℓ 2、H 2（Hardy 空间）、Fock 空间……全都等距同构。这是 Hilbert 空间理论里最干净的分类定理。

### A3 解（Fourier）

(a) 由 Parseval（{e n​}n∈Z​ 是 L 2[−π,π] 的 ONB）： ∥f∥L 2 2​=n∈Z∑​∣f^​(n)∣2,f^​(n)=⟨f,e n​⟩=2 π
​1​∫−π π​f(t)e−in t d t. (b) 定义 U:L 2([−π,π])→ℓ 2(Z), U f=(f^​(n))n∈Z​。下标集 Z 仍可数，三件套照搬：线性（内积第一变元线性）；由 (a) 的 Parseval 等距、单射；由 Riesz–Fischer，任意 (c n​)∈ℓ 2(Z) 对应 ∑n​c n​e n​∈L 2 收敛且系数为 c n​，故满射。于是 U 是等距同构，L 2([−π,π])≅ℓ 2(Z)。■

> 这就是"抽象三件套"落到经典 Fourier 级数的样子：L 2 函数 ↔ 其 Fourier 系数序列，范数由 Parseval 守恒。

### A4 解（ONB↔ONB ⟹ 酉）

对 x∈H，由 {e n​} 是 ONB，x=∑n​⟨x,e n​⟩e n​（C2），故按定义 Ux=n∑​⟨x,e n​⟩f n​. - 良定义 + 等距：系数 (⟨x,e n​⟩)∈ℓ 2（Parseval），由 C1 右端在 K 收敛；且 {f n​} 是 K 的 ONB，故 ⟨Ux,f k​⟩=⟨x,e k​⟩，再用 K 的 Parseval： ∥Ux∥K 2​=n∑​∣⟨Ux,f n​⟩∣2=n∑​∣⟨x,e n​⟩∣2=∥x∥H 2​. 故 U 等距，从而单射、有界。 - 线性：U(∑c n​e n​)=∑c n​f n​ 关于系数线性，且坐标映射线性，故 U 线性。 - 满射：每个 f k​=U e k​∈ran U，故 ran U⊇span{f n​}；又 U 等距 ⇒ 把完备空间 H 等距搬过来，ran U 完备故闭，于是 ran U⊇span​{f n​}=K。故满射。

综上 U 是线性等距双射，即 H→K 的酉（等距同构）算子。■

> 这题给出三件套最常用的"变形版"：要证两个空间酉等价，只需在各自 ONB 之间建立一一对应。证某个具体算子（如 Fourier 变换、小波变换、移位算子的对角化）是酉的，本质都是"它把一组 ONB 映成另一组 ONB"。

## 六、一页纸速记

步骤 | 做什么 | 用到的定理 | 给出什么
--- | --- | --- | ---
0 | Gram–Schmidt 造可数 ONB {e n​} | 可分 ⟹ 可数 ONB | 坐标轴
1 | Ux=(⟨x,e n​⟩) | 内积第一变元线性 | U 线性
2 | Parseval ∥x∥2=∑∣⟨x,e n​⟩∣2 | Parseval（= 完备性） | 良定义 + 等距 + 单射
3 | (c n​)∈ℓ 2⇒∑c n​e n​ 收敛 | Riesz–Fischer（用 H 完备） | 满射
✓ | 线性 + 等距 + 双射 | — | H≅ℓ 2

触发器：看到「可分 Hilbert 空间」「等距同构到 ℓ 2」「证某映射是酉算子」「Parseval/Bessel」 → 条件反射上「基 → 系数 → Parseval/Riesz–Fischer」。 判 ONB 的最快办法：和所有 e n​ 正交的向量只有 0（C2-iii）。 最易丢分：① 把正交系当 ONB（漏完备性）；② 不交代"可分⟹可数"；③ 满射不证收敛。