# 坐标化三件套：把抽象 Hilbert 空间搬到 $\ell^2$

> **一句话**：想把一个抽象的 Hilbert 空间 $H$ 等距搬到序列空间 $\ell^2$，永远是「**基 → 展开系数**」。
> **三件套分工**：
> 1. **ONB（标准正交基）**——先有一组"坐标轴"；
> 2. **系数映射** $U:x\mapsto(\langle x,e_n\rangle)_n$——把向量写成它在各轴上的坐标；
> 3. **Parseval + Riesz–Fischer**——Parseval 管「等距 + 单射」，Riesz–Fischer 管「满射」。
>
> 记住这对分工，"可分 $\cong\ell^2$"一类题基本就是**填空**。本文先把流程与每一步的"为什么"讲透，再给一组**分级练习**（解答附在最后，建议先自己做）。

---

## 〇、记号与约定

- $H$：（复或实）Hilbert 空间，内积 $\langle\cdot,\cdot\rangle$，范数 $\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}$。
- 内积约定：**对第一变元线性、第二变元共轭线性**（即 $\langle \lambda x,y\rangle=\lambda\langle x,y\rangle$，$\langle x,\lambda y\rangle=\bar\lambda\langle x,y\rangle$）。这条约定决定了系数取 $\langle x,e_n\rangle$ 时 $U$ 自动线性，**务必固定一种约定**。
- **标准正交系（orthonormal system）**：$\langle e_m,e_n\rangle=\delta_{mn}$ 的一组向量。
- **标准正交基 / ONB（orthonormal basis）**：张成稠密（$\overline{\operatorname{span}}\{e_n\}=H$）的标准正交系。**注意：ONB ≠ 代数基（Hamel 基）**，它允许"无穷线性组合"（级数）。
- $\ell^2$：平方可和序列 $(c_n)$，$\|(c_n)\|^2=\sum_n|c_n|^2<\infty$，本身是 Hilbert 空间。
- **等距同构（isometric isomorphism）**：线性、双射、且保范 $\|Ux\|=\|x\|$ 的映射。两个 Hilbert 空间等距同构意味着它们"作为 Hilbert 空间完全一样"。

---

## 一、流程详解：三步走

### 第 0 步（前置）：确认有可数 ONB —— 这一步用到"可分"

整套流程要落到 $\ell^2$（下标是 $\mathbb N$，**可数**），前提是 $H$ 有一组**可数** ONB。

> **关键事实**：$H$ 可分 $\iff$ $H$ 有 ONB，且该 ONB 为**有限或可数无穷**。

- **怎么造**：取可数稠密子集 $\{v_k\}$，做 **Gram–Schmidt 正交化**（途中扔掉线性相关项），得到标准正交系 $\{e_n\}$，其 $\operatorname{span}$ 包含 $\{v_k\}$ 故稠密——于是它是 ONB。
- **"可分"这个词在 Hilbert 空间里几乎只有这一个用途**：保证基是可数的，从而能映到 $\ell^2$（而不是更大的 $\ell^2(\Gamma)$）。看到"可分"就翻译成"可数 ONB"。
- **维数提醒**：若 $H$ 有限维（$\dim=N$），ONB 只有 $N$ 个，得到 $H\cong\mathbb C^N=\ell^2_N$，它与**无穷维** $\ell^2$ **不**等距同构。所以"可分无穷维 $\cong\ell^2$"里"无穷维"这三个字不能省。

### 第 1 步：定义系数映射 $U$

$$
U:H\to\ell^2,\qquad Ux=\big(\langle x,e_n\rangle\big)_{n\ge1}.
$$

每个分量 $\langle x,e_n\rangle$ 叫 $x$ 的**第 $n$ 个 Fourier 系数**（抽象意义）。$U$ 的**线性**是显然的——因为内积对第一变元线性：
$$
\langle \alpha x+\beta y,\,e_n\rangle=\alpha\langle x,e_n\rangle+\beta\langle y,e_n\rangle.
$$

### 第 2 步：Parseval ⟹ 良定义 + 等距 + 单射

> **Parseval 恒等式**（ONB 的定义性质）：对一切 $x\in H$，
> $$\|x\|^2=\sum_{n}|\langle x,e_n\rangle|^2.$$

它一口气给三件事：
1. **良定义**：右端有限 $\Rightarrow Ux=(\langle x,e_n\rangle)\in\ell^2$（确实落在 $\ell^2$ 里）；
2. **等距**：$\|Ux\|_{\ell^2}^2=\sum|\langle x,e_n\rangle|^2=\|x\|^2$，即 $\|Ux\|=\|x\|$；
3. **单射**：等距自动单射——$Ux=0\Rightarrow\|x\|=\|Ux\|=0\Rightarrow x=0$。

> 比 Parseval 弱、对**任意**标准正交系（不必完备）都成立的是 **Bessel 不等式** $\sum|\langle x,e_n\rangle|^2\le\|x\|^2$。**Bessel（$\le$）升级为 Parseval（$=$）的充要条件恰是"这组系完备"（即是 ONB）**。这正是"为什么必须是 ONB 而不只是正交系"的根。

### 第 3 步：Riesz–Fischer ⟹ 满射

> **Riesz–Fischer 定理**：对任意 $(c_n)\in\ell^2$，级数 $\sum_n c_n e_n$ 在 $H$ 中**收敛**。

证满射就靠它：任取 $(c_n)\in\ell^2$，令 $x=\sum_n c_n e_n\in H$，则
$$
\langle x,e_k\rangle=\Big\langle \sum_n c_n e_n,\,e_k\Big\rangle=c_k\quad(\text{内积连续，逐项取；详见 C1 附注}),
$$
即 $Ux=(c_n)$。故 $U$ 满射。

**Riesz–Fischer 为什么成立**（这一步用 $H$ 完备）：部分和 $s_N=\sum_{n\le N}c_n e_n$ 满足
$$
\|s_N-s_M\|^2=\sum_{M<n\le N}|c_n|^2\xrightarrow[N>M\to\infty]{}0\quad(\text{因 }(c_n)\in\ell^2),
$$
故 $\{s_N\}$ 是 Cauchy 列，由 **$H$ 完备**收敛。

### 收尾

$U$ 线性（第 1 步）+ 等距、单射（第 2 步）+ 满射（第 3 步）$\Rightarrow$ $U$ 是**等距同构**，$H\cong\ell^2$。$\blacksquare$

---

## 二、把三件套画成一张流程图

```
        可分(+无穷维)
            │  Gram–Schmidt
            ▼
   ┌──────────────────┐
   │ 第0步：可数 ONB {eₙ} │   ← "可分"唯一的用处：保证基可数
   └──────────────────┘
            │
            ▼  定义坐标
   ┌──────────────────────────────┐
   │ 第1步：U x = (⟨x,eₙ⟩)ₙ   （线性，内积第一变元线性）│
   └──────────────────────────────┘
            │
      ┌─────┴───────────────┐
      ▼                     ▼
 ┌───────────┐        ┌─────────────┐
 │第2步 Parseval│        │第3步 Riesz–Fischer│
 │ ‖x‖²=Σ|⟨x,eₙ⟩|²│        │(cₙ)∈ℓ² ⟹ Σcₙeₙ 收敛│
 │ ⟹ 良定义/等距/单射│        │ ⟹ 满射 (用 H 完备)│
 └───────────┘        └─────────────┘
      └─────────┬───────────┘
                ▼
        U 线性+等距+双射 = 等距同构
                H ≅ ℓ²
```

---

## 三、常见陷阱（阅卷高频扣分点）

1. **把"标准正交系"当成"ONB"用**：只有完备（张成稠密）的系才有 Parseval（等号）；一般正交系只有 Bessel（不等号）。**Parseval 的等号 = 完备性的化身**，用之前要先说清 $\{e_n\}$ 是 ONB。
2. **漏掉"可分 ⟹ 可数"这一步**：直接说"取 ONB 映到 $\ell^2$"而不交代基为何可数，是丢分点。可分正是用在这里。
3. **有限维硬塞进无穷维 $\ell^2$**：$\mathbb C^N\not\cong\ell^2$。题目说"可分无穷维"才落到无穷维 $\ell^2$。
4. **满射不证收敛**：$\sum c_n e_n$ 收敛**不是显然的**，必须用 $(c_n)\in\ell^2$ 给 Cauchy + $H$ 完备。这是 Riesz–Fischer 的核心，省不得。
5. **内积约定不一致**：系数取 $\langle x,e_n\rangle$ 还是 $\langle e_n,x\rangle$、线性在第几个变元——开头固定一种，全程别换，否则 $U$ 的线性会"看起来"出问题。

---

## 四、练习题（先自己做，解答见第五节）

> 难度递增：**W = 热身（搭骨架）**，**C = 核心（三件套的零件）**，**A = 应用（组装/变形）**。
> 每题给一句**思路提示**，对应三件套的哪一环。

### W1（系数 = 内积；有限 Parseval）
设 $\{e_1,\dots,e_N\}$ 是 $H$ 的标准正交系，$x=\sum_{k=1}^N a_k e_k$。证明：
(a) $\langle x,e_j\rangle=a_j$；(b) $\|x\|^2=\sum_{k=1}^N|a_k|^2$。
> 提示：直接用 $\langle e_m,e_n\rangle=\delta_{mn}$ 展开。这是"系数映射"在有限维的原型。

### W2（Bessel 不等式 —— Parseval 的前身）
设 $\{e_n\}_{n\ge1}$ 是标准正交系（**不必完备**）。证明对任意 $x\in H$，
$$\sum_{n=1}^\infty|\langle x,e_n\rangle|^2\le\|x\|^2.$$
> 提示：考虑部分和 $s_N=\sum_{n\le N}\langle x,e_n\rangle e_n$，展开 $\|x-s_N\|^2\ge0$。

### C1（Riesz–Fischer 的收敛 —— 满射引擎）
设 $\{e_n\}$ 是标准正交系，$(c_n)\in\ell^2$。证明 $\sum_{n}c_n e_n$ 在 $H$ 中收敛。
> 提示：证部分和是 Cauchy 列（算 $\|s_N-s_M\|^2$），再用 $H$ 完备。

### C2（完备性的三等价 —— 何时 Bessel 升级为 Parseval）
设 $\{e_n\}$ 是标准正交系。证明以下等价：
(i) $\{e_n\}$ 是 ONB（$\overline{\operatorname{span}}\{e_n\}=H$）；
(ii) Parseval $\|x\|^2=\sum|\langle x,e_n\rangle|^2$ 对一切 $x$ 成立；
(iii) 若 $\langle x,e_n\rangle=0$ 对一切 $n$，则 $x=0$。
> 提示：(i)⟹(ii) 用"$s_N$ 是到 $\operatorname{span}\{e_1..e_N\}$ 的最佳逼近 + 稠密"；(ii)⟹(iii) 代入；(iii)⟹(i) 用投影定理找 $\perp$ 向量。

### A1（主定理：可分无穷维 $\cong\ell^2$）
设 $H$ 是**可分无穷维** Hilbert 空间。证明存在等距同构 $U:H\to\ell^2$。
> 提示：把第 0–3 步组装。Gram–Schmidt 造 ONB → $Ux=(\langle x,e_n\rangle)$ → Parseval 等距单射 → Riesz–Fischer 满射。

### A2（两个可分无穷维 Hilbert 空间彼此同构）
设 $H_1,H_2$ 都是可分无穷维 Hilbert 空间。证明 $H_1\cong H_2$（等距同构）。
> 提示：别重证一遍，直接复合 A1：$H_1\cong\ell^2\cong H_2$，等距同构的逆与复合仍是等距同构。

### A3（具体版：Fourier 系数映射）
在 $L^2([-\pi,\pi])$ 上，$\{e_n(t)=e^{int}/\sqrt{2\pi}\}_{n\in\mathbb Z}$ 是 ONB（**可直接引用**）。记 $\hat f(n)=\langle f,e_n\rangle$。
(a) 写出 Parseval 给出的 $\|f\|_{L^2}^2$ 的级数表达；
(b) 说明 $f\mapsto(\hat f(n))_{n\in\mathbb Z}$ 是 $L^2([-\pi,\pi])\to\ell^2(\mathbb Z)$ 的等距同构。
> 提示：这就是三件套的"实例代入"，下标集换成 $\mathbb Z$（可数即可）。

### A4（变形：把 ONB 映到 ONB 的线性映射是酉的）
设 $\{e_n\}$ 是 $H$ 的 ONB，$\{f_n\}$ 是 $K$ 的 ONB（$H,K$ 同为可分无穷维 Hilbert 空间）。定义 $U$ 由 $Ue_n=f_n$ 线性延拓（即 $U\big(\sum c_n e_n\big)=\sum c_n f_n$）。证明 $U$ 是 $H\to K$ 的等距同构。
> 提示：对 $x=\sum\langle x,e_n\rangle e_n$，算 $\|Ux\|^2$ 用 $\{f_n\}$ 的 Parseval；满射用 $\{f_n\}$ 张成稠密 + 等距像闭。这题说明：**"ONB↔ONB 的对应"天然给出酉等价**。

---

## 五、参考解答

### W1 解
(a) $\displaystyle\langle x,e_j\rangle=\Big\langle\sum_{k=1}^N a_k e_k,\,e_j\Big\rangle=\sum_{k=1}^N a_k\langle e_k,e_j\rangle=\sum_{k=1}^N a_k\delta_{kj}=a_j.$
(b) $\displaystyle\|x\|^2=\Big\langle\sum_k a_k e_k,\sum_m a_m e_m\Big\rangle=\sum_{k,m}a_k\bar a_m\langle e_k,e_m\rangle=\sum_{k,m}a_k\bar a_m\delta_{km}=\sum_{k=1}^N|a_k|^2.$ $\blacksquare$

> 这就是"系数映射 + Parseval"在有限维的原型：$x\leftrightarrow(a_1,\dots,a_N)$ 保范，$H_{\text{fin}}\cong\mathbb C^N$。

### W2 解（Bessel）
记 $s_N=\sum_{n=1}^N\langle x,e_n\rangle e_n$。展开（注意第二变元共轭线性）：
$$
\langle x,s_N\rangle=\sum_{n\le N}\overline{\langle x,e_n\rangle}\langle x,e_n\rangle=\sum_{n\le N}|\langle x,e_n\rangle|^2,
$$
$$
\|s_N\|^2=\sum_{n,m\le N}\langle x,e_n\rangle\overline{\langle x,e_m\rangle}\langle e_n,e_m\rangle=\sum_{n\le N}|\langle x,e_n\rangle|^2.
$$
于是
$$
0\le\|x-s_N\|^2=\|x\|^2-2\operatorname{Re}\langle x,s_N\rangle+\|s_N\|^2=\|x\|^2-\sum_{n\le N}|\langle x,e_n\rangle|^2.
$$
即 $\sum_{n\le N}|\langle x,e_n\rangle|^2\le\|x\|^2$ 对所有 $N$；令 $N\to\infty$ 得 Bessel。$\blacksquare$

> 关键观察：上式还顺带说明 $\|x-s_N\|^2=\|x\|^2-\sum_{n\le N}|\langle x,e_n\rangle|^2$。**当 $\{e_n\}$ 是 ONB（$s_N\to x$）时左端 $\to0$，立刻升级成 Parseval**——这正是 C2 里 (i)⟹(ii) 的引擎。

### C1 解（Riesz–Fischer 收敛）
记 $s_N=\sum_{n\le N}c_n e_n$。对 $N>M$，由正交性
$$
\|s_N-s_M\|^2=\Big\|\sum_{M<n\le N}c_n e_n\Big\|^2=\sum_{M<n\le N}|c_n|^2.
$$
因 $(c_n)\in\ell^2$，级数 $\sum|c_n|^2$ 收敛，其尾和 $\to0$，故上式 $\to0$，即 $\{s_N\}$ 是 Cauchy 列。由 **$H$ 完备**，$s_N$ 收敛到某 $x\in H$，即 $\sum_n c_n e_n=x$ 收敛。$\blacksquare$

> 附带：由内积连续，$\langle x,e_k\rangle=\lim_N\langle s_N,e_k\rangle=\lim_N\sum_{n\le N}c_n\langle e_n,e_k\rangle=c_k$。这一句是 A1 里"$Ux=(c_n)$"的依据。

### C2 解（三等价）
**(i)⟹(ii)：** 由 W2 的恒等式，$\|x-s_N\|^2=\|x\|^2-\sum_{n\le N}|\langle x,e_n\rangle|^2$，故只需证 $s_N\to x$。注意 $s_N$ 是 $x$ 到 $\operatorname{span}\{e_1,\dots,e_N\}$ 的正交投影（因 $x-s_N\perp e_1,\dots,e_N$），从而是该子空间里对 $x$ 的**最佳逼近**。给定 $\varepsilon>0$，由 (i) 张成稠密，存在有限组合 $y=\sum_{n\le M}b_n e_n$ 使 $\|x-y\|<\varepsilon$。当 $N\ge M$ 时 $y\in\operatorname{span}\{e_1,\dots,e_N\}$，故 $\|x-s_N\|\le\|x-y\|<\varepsilon$。于是 $s_N\to x$，代入得 Parseval。

**(ii)⟹(iii)：** 若 $\langle x,e_n\rangle=0$ 对一切 $n$，则 $\|x\|^2=\sum_n 0=0$，故 $x=0$。

**(iii)⟹(i)：** 设 $M=\overline{\operatorname{span}}\{e_n\}$。若 $M\ne H$，$M$ 是闭真子空间，由**投影定理** $H=M\oplus M^\perp$ 且 $M^\perp\ne\{0\}$，取 $0\ne z\in M^\perp$，则 $\langle z,e_n\rangle=0$ 对一切 $n$；由 (iii) $z=0$，矛盾。故 $M=H$，即 $\{e_n\}$ 是 ONB。$\blacksquare$

> 这三条是"$\{e_n\}$ 够不够格当坐标轴"的等价检验。**(iii) 最好用**：要判一个正交系是不是 ONB，就看"和所有 $e_n$ 都正交的向量是否只有 $0$"。

### A1 解（主定理）
$H$ 可分，取可数稠密集，Gram–Schmidt 得可数标准正交系 $\{e_n\}$，其张成含稠密集故稠密——是 ONB；因 $H$ 无穷维，$\{e_n\}$ 可数无穷。定义 $U:H\to\ell^2,\ Ux=(\langle x,e_n\rangle)_n$。
- **线性**：内积第一变元线性 $\Rightarrow U$ 线性。
- **良定义 + 等距 + 单射**：由 Parseval（C2 给出，因 $\{e_n\}$ 是 ONB），$\|Ux\|_{\ell^2}^2=\sum|\langle x,e_n\rangle|^2=\|x\|^2$，故 $Ux\in\ell^2$、$\|Ux\|=\|x\|$、单射。
- **满射**：任取 $(c_n)\in\ell^2$，由 C1（Riesz–Fischer）$x=\sum c_n e_n\in H$ 收敛，且 $\langle x,e_k\rangle=c_k$，即 $Ux=(c_n)$。

故 $U$ 是线性等距双射，$H\cong\ell^2$。$\blacksquare$

### A2 解（彼此同构）
由 A1，存在等距同构 $U_1:H_1\to\ell^2$、$U_2:H_2\to\ell^2$。等距同构的**逆映射**仍是等距同构（$U_2^{-1}$ 线性双射且 $\|U_2^{-1}y\|=\|y\|$），等距同构的**复合**仍是等距同构。故
$$
U_2^{-1}\circ U_1:H_1\to H_2
$$
线性、双射、保范，即 $H_1\cong H_2$。$\blacksquare$

> 推论："**所有可分无穷维 Hilbert 空间本质上是同一个空间**"——$L^2[0,1]$、$\ell^2$、$H^2$（Hardy 空间）、Fock 空间……全都等距同构。这是 Hilbert 空间理论里最干净的分类定理。

### A3 解（Fourier）
(a) 由 Parseval（$\{e_n\}_{n\in\mathbb Z}$ 是 $L^2[-\pi,\pi]$ 的 ONB）：
$$
\|f\|_{L^2}^2=\sum_{n\in\mathbb Z}|\hat f(n)|^2,\qquad \hat f(n)=\langle f,e_n\rangle=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)e^{-int}\,dt.
$$
(b) 定义 $U:L^2([-\pi,\pi])\to\ell^2(\mathbb Z),\ Uf=(\hat f(n))_{n\in\mathbb Z}$。下标集 $\mathbb Z$ 仍可数，三件套照搬：线性（内积第一变元线性）；由 (a) 的 Parseval 等距、单射；由 Riesz–Fischer，任意 $(c_n)\in\ell^2(\mathbb Z)$ 对应 $\sum_n c_n e_n\in L^2$ 收敛且系数为 $c_n$，故满射。于是 $U$ 是等距同构，$L^2([-\pi,\pi])\cong\ell^2(\mathbb Z)$。$\blacksquare$

> 这就是"抽象三件套"落到经典 Fourier 级数的样子：$L^2$ 函数 $\leftrightarrow$ 其 Fourier 系数序列，范数由 Parseval 守恒。

### A4 解（ONB↔ONB ⟹ 酉）
对 $x\in H$，由 $\{e_n\}$ 是 ONB，$x=\sum_n\langle x,e_n\rangle e_n$（C2），故按定义
$$
Ux=\sum_n\langle x,e_n\rangle f_n .
$$
- **良定义 + 等距**：系数 $(\langle x,e_n\rangle)\in\ell^2$（Parseval），由 C1 右端在 $K$ 收敛；且 $\{f_n\}$ 是 $K$ 的 ONB，故 $\langle Ux,f_k\rangle=\langle x,e_k\rangle$，再用 $K$ 的 Parseval：
$$
\|Ux\|_K^2=\sum_n|\langle Ux,f_n\rangle|^2=\sum_n|\langle x,e_n\rangle|^2=\|x\|_H^2 .
$$
故 $U$ 等距，从而单射、有界。
- **线性**：$U\big(\sum c_n e_n\big)=\sum c_n f_n$ 关于系数线性，且坐标映射线性，故 $U$ 线性。
- **满射**：每个 $f_k=Ue_k\in\operatorname{ran}U$，故 $\operatorname{ran}U\supseteq\operatorname{span}\{f_n\}$；又 $U$ 等距 $\Rightarrow$ 把完备空间 $H$ 等距搬过来，$\operatorname{ran}U$ **完备故闭**，于是 $\operatorname{ran}U\supseteq\overline{\operatorname{span}}\{f_n\}=K$。故满射。

综上 $U$ 是线性等距双射，即 $H\to K$ 的酉（等距同构）算子。$\blacksquare$

> 这题给出三件套最常用的"变形版"：**要证两个空间酉等价，只需在各自 ONB 之间建立一一对应**。证某个具体算子（如 Fourier 变换、小波变换、移位算子的对角化）是酉的，本质都是"它把一组 ONB 映成另一组 ONB"。

---

## 六、一页纸速记

| 步骤 | 做什么 | 用到的定理 | 给出什么 |
|---|---|---|---|
| 0 | Gram–Schmidt 造可数 ONB $\{e_n\}$ | 可分 ⟹ 可数 ONB | 坐标轴 |
| 1 | $Ux=(\langle x,e_n\rangle)$ | 内积第一变元线性 | $U$ 线性 |
| 2 | Parseval $\|x\|^2=\sum|\langle x,e_n\rangle|^2$ | Parseval（= 完备性） | 良定义 + 等距 + 单射 |
| 3 | $(c_n)\in\ell^2\Rightarrow\sum c_n e_n$ 收敛 | Riesz–Fischer（用 $H$ 完备） | 满射 |
| ✓ | 线性 + 等距 + 双射 | — | $H\cong\ell^2$ |

**触发器**：看到「可分 Hilbert 空间」「等距同构到 $\ell^2$」「证某映射是酉算子」「Parseval/Bessel」 → 条件反射上「**基 → 系数 → Parseval/Riesz–Fischer**」。
**判 ONB 的最快办法**：和所有 $e_n$ 正交的向量只有 $0$（C2-iii）。
**最易丢分**：① 把正交系当 ONB（漏完备性）；② 不交代"可分⟹可数"；③ 满射不证收敛。
