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Folgen und Reihen

Eine Folge ist eine Funktion der natürlichen Zahlen.

Die natürliche Zahl ist eine Methode, um auf die Glieder der Folge zu verweisen. Sie heißt auch Index.

Werden die ersten n Glieder einer Folge aufsummiert, dann ist das das n-te glied der Summenfolge oder Reihe.

Der Begriff Funktion bedeutet: Weiß ich das wievielte Glied, dann weiß ich die Zahl dort.

Viele Folgen haben eine Regelmäßigkeit, die es erlaubt sie viel kürzer zu beschreiben (Kurze Beschreibung = geringe Komplexität).

arithmetische Folge

Bei der arithmetischen Folge ergibt sich ein Glied der Folge aus dem vorhergehenden durch Addieren einer gleichbleibenden Zahl.

\(a_{n+1} = a_n + d\).

Das ist die rekursive Darstellung der arithmetischen Folge.

Um zum n-ten Glied zu kommen, wiederholt man das n-1 mal:

\(a_n = a_1 + (n-1) d\)

Das ist die Termdarstellung der arithmetischen Folge.

Hinweis

In vielen Programmiersprachen wird bei 0 gestartet, da man dann \(nd\) hat, statt \((n-1)d\).

Um eine gegebene Folge als arithmetische Folge zu erkennen, schaut man, ob die Differenz aufeinanderfolgender Glieder gleich bleibt.

arithmetische Reihe

Betrachtet man die Summe die ersten n Glieder, dann kann man eine Regelmäßigkeit erkennen, und solche sind immer Anlass für einfachere Berechnungsmethoden.

Betrachtet man obige Termdarstellung, kann man erkennen, dass wenn man vom Anfang der Folge startet immer d dazu kommt, wenn man aber vom letzten (n-ten) Glied der Folge rückwärts geht immer d wegkommt. Diese Operationen heben sich auf. Man kann deshalb Anzahl/2 mal die Summe vom ersten und letzten Glied machen.

\(\sum_{k=1}^{n} a_k = \frac{n(a_1+a_n)}{2}\)

Insbesondere ist \(1+2+...n=\frac{(n+1)n}{2}\).

geometrische Folge

Bei der geometrischen Folge ergibt sich ein Glied der Folge aus dem vorhergehenden durch Multiplikation mit einer gleichbleibenden Zahl.

\(a_{n+1} = a_n \cdot q\).

Das ist die rekursive Darstellung der geometrischen Folge.

Um zum n-ten Glied zu kommen, wiederholt man das n-1 mal:

\(a_n = a_1 q^{n-1}\)

Das ist die Termdarstellung der geometrischen Folge.

Um eine gegebene Folge als geometrisch zu erkennen, schaut man, ob der Quotient aufeinanderfolgender Glieder gleich bleibt.

geometrische Reihe

Betrachtet man

\[\begin{split}\begin{matrix} 1+&q+q^2+...+q^{n-1}&=&S_n\\ &q+q^2+...+q^n&=&q S_n\\ \end{matrix}\end{split}\]

so sieht man, dass viele Summanden gleich sind. Durch Subtraktion erhält man

\(\sum_{k=1}^{n} q^{k-1} = 1 + q + ... + q^{n-1} = \frac{q^n-1}{q-1}=\frac{1-q^n}{1-q}\)