Hej. Jeg vil tale om forståelse, og om begrebet forståelse, og hvad essensen af forståelse er, for det at forstå, er noget vi alle efterstræber. Vi ønsker at forstå ting. Min påstand er, at forståelse har at gøre med evnen til at ændre sit perspektiv. Evner du ikke det, har du ikke forståelse. Så det er min påstand. 
Og jeg vil fokusere på matematik. Mange af os tænker på matematik som addition, subtraktion, multiplikation, divison, fraktioner, procenter, geometri, algebra -- alt det der. Men faktisk, vil jeg også tale om essensen af matematik. Min påstand er, at matematik har noget at gøre med mønstre. 
Bag mig ser I et smukt mønster, dette mønster opstår, blot ved at anvende cirkler på en ganske særlig måde. Så min hverdags definition af matematik, som jeg bruger hver dag, er følgende: Først og fremmest handler det om, at finde mønstre. Og med "mønstre", mener jeg en sammenhæng, en struktur, noget regelmæssighed, nogle regler, der bestemmer hvad vi ser. Dernæst, tænker jeg på hvordan jeg omsætter disse mønstre til et sprog. Vi må opfinde et sprog, hvis vi endnu ikke har det, og i matematik, er dette essentielt. Matematik handler også om, at antage, og at lege med disse antagelser og se hvad der sker. Det kommer vi snart til. Og endelig, drejer det sig om at gøre seje ting. Matematik gør os i stand til at gøre så mange ting. 
Så lad os se på disse mønstre. Hvis du ønsker at binde en slipseknude, er der mønstre. Slipseknuder har navne. Og vi kan også bruge matematik på slipseknuder. Dette er en venstre-ud, højre-ind, midt-ud og stram til. Dette er en venstre-ind, højre-ud, venstre-ind, midt-ud og stram til. Dette er et sprog vi har opfundet, for at beskrive slipseknude-mønstre, og en halv-Windsor er alt dette. Dette er en matematikbog om at binde snørebånd, på universitets niveau, fordi, der er mønstre i at binde snørebånd. Vi kan gøre det på så mange forskellige måder. Vi kan analysere det. Vi kan opfinde sprog kun til det. 
Og der findes den slags eksempler over det hele i matematik. Dette er Leibnitz's notation fra 1675. Han opfandt et sprog for mønstre i naturen. Når vi kaster noget op i luften, falder det ned. Hvorfor? Vi er ikke sikre, men vi kan beskrive dette med matematik i mønstre. 
Dette er også et mønster. Dette er også et opfundet sprog. Kan I gætte for hvad? Det er faktisk et notations-system for dans, for stepdans. Dette gør det muligt for koreografen at gøre nogle seje ting, at gøre nye ting, fordi han har opfundet en beskrivelse for det. 
Prøv at tænke over, hvor fantastisk det at kunne beskrive noget egentlig er. Her står der "matematik". Men faktisk, er det bare prikker. Ikke? Så hvordan i alverden kan disse prikker rent faktisk repræsentere dette ord? Jamen, det gør de. De repræsenterer ordet: "matematik", og disse symboler repræsenterer også det ord, og dette kan vi høre. Det lyder sådan her: 
(bippelyde) 
På forunderlig vis, repræsenterer disse lyde ordet og konceptet bag ordet. Hvordan sker dette? Der er noget forbløffende ved at kunne beskrive ting. 
Jeg vil gerne snakke om, den magiske ting der opstår når vi rent faktisk beskriver noget. Her ser du bare linjer med forskellig afstand. De står for numre i en bestemt bog. Og jeg kan faktisk anbefale denne bog, det er en god bog. 
(latter) 
Bare stol på mig. 
Ok, så lad os lave et eksperiment, bare for at lege med nogle lige linjer. Det er en lige linje. Lad os lave en ny. Så hver gang vi bevæger den, bevæger vi den en ned og en på tværs, så vi tegner en ny, lige linje, ikke sandt? Dette gør vi igen og igen, og leder efter mønstre. Dette mønster opstår, og det er et ret pænt mønster. Det ligner en kurve, ikke sandt? Det opstår blot fra at tegne simple, lige linjer. 
Nu kan jeg ændre mit perspektiv en smule. Jeg kan rotere det. Se lige den kurve. Hvad ligner det? Er det en del af en cirkel? Det er faktisk ikke en del af en cirkel. Så jeg må fortsætte mit detektivarbejde, og lede efter et korrekt mønster. Måske hvis jeg kopierer det, og laver noget kunst? Nå. Ikke alligevel. Måske skulle jeg udvide linjerne på denne måde, og lede efter mønstret dér. Lad os tegne flere linjer. Vi gør sådan. Lad os således zoome ud, og ændre vort perspektiv igen. Så kan vi faktisk se, at hvad der startede som lige linjer faktisk er en kurve der hedder en parabel. Dette er repræsenteret ved en simpel ligning, og det er et smukt mønster. 
Så, dette er det arbejde vi gør. Vi finder mønstre, og så beskriver vi dem. Jeg synes at dette er en god almen definition. Men i dag vil jeg grave lidt dybere ned, og tænke på hvad dette arbejde egentlig er. Hvad gør det muligt? Der er en ting som graver et spadestik dybere ned, og det har at gøre med evnen til at ændre sit perspektiv. Og min påstand er, at når du ændrer perspektiv, og hvis du indtager et andet synspunkt, så lærer du noget nyt, om det du ser på, betragter eller lytter til. Jeg tror det er en umådeligt vigtig ting, som vi gør hele tiden. 
Så lad os se på denne simple ligning, x + x = 2 • x. Det er et meget fint mønster, og det er sandt, fordi 5 + 5 = 2 • 5, og så videre. Vi har set dette igen og igen - og vi beskriver det sådan her. Men tænk på dette: Dette er en ligning. Den siger at noget er lig med noget andet, og det er to forskellige perspektiver. Ét perspektiv er, at det er en sum. Det er noget du adderer. På den anden side er det en multiplikation, og det er to forskellige perspektiver. Jeg vil gå så langt som at sige, at hver eneste ligning er sådan her; hver eneste matematiske ligning hvor du bruger dette lighedstegn, faktisk er en metafor. Det er en analogi imellem to ting. Du betragter blot noget, og indtager to forskellige syn på det, og dette beskriver du så i et sprog. 
Se denne ligning. Det er én af de smukkeste ligninger. Ligningen siger blot, at to ting er lig med -1. På venstre side er den -1, og det er den anden også. Dette er, synes jeg, én af de essentielle dele af matematik-- du indtager to forskellige synspunkter. 
Så, lad os lege lidt. Vi tager et nummer. Vi kender fire tredjedele. Vi ved hvad fire tredjedele er. Det er 1.333..., men vi skal have de sidste tre prikker med, ellers er det faktisk ikke præcist fire tredjedele. Men, dette er kun i 10-talssystemet. I ved, at vort nummersystem kun bruger 10 cifre. Hvis vi ændrer på dét, og kun anvender 2 cifre, kaldes det det binære talsystem, som skrives sådan: Så nu taler vi om dette nummer. Tallet er tre fire tredjedele. Vi kan skrive det sådan her: Og vi kan ændre basen, altså antallet af cifre, så kan vi skrive det anderledes. 
Så, disse tal er alle beskrivelser af det samme nummer. Vi kan endda skrive det helt simpelt, som 1.3 eller 1.6. Det afhænger alt sammen af, hvor mange cifre du har til rådighed. Eller vi kan simplificere det, og skrive det således: Jeg kan godt lide denne, fordi den siger fire delt med tre. Dette nummer udtrykker en relation mellem to numre. På den ene side har du fire, og på den anden har du tre. Du kan visualisere dette på mange måder. Det jeg gør nu, er at anskue dette nummer fra forskellige perspektiver. Jeg leger med det. Jeg leger med vores anskuelse af noget, og det gør jeg med vilje. Lad os tage dette gitter. Hvis det er fire på tværs og tre op, så er denne linje altid lig fem. Det er nødt til at være sådan. Dette er et smukt mønster. Fire og tre og fem. Denne rektangel, som er 4 x 3, har I set masser af gange. Dette er en gennemsnitlig computer skærm. 800 x 600 eller 1,600 x 1,200 er et TV eller en computer skærm. 
Dette er alle gode beskrivelser. Men jeg vil godt gå lidt længere, og lege mere med dette nummer. Her ser du to cirkler. Jeg roterer dem lige sådan her: Se på den øverste til venstre. Den bevæger sig lidt hurtigere, ikke? Det kan I se. Den går faktisk præcist fire tredjedele så hurtigt som den anden. Det betyder at når dén når rundt  fire gange, når den anden rundt tre gange. Nu laver vi to linjer, og tegner en prik der hvor linjerne mødes. Så danser denne prik rundt. 
[Latter] 
Denne prik kommer fra det nummer. Ikke? Nu bør vi spore den. Lad os spore den og se hvad der sker. Dette er, hvad matematik i virkeligheden drejer sig om. Det drejer sig om, at se hvad der sker. Dette opstår ud fra fire tredjedele. Jeg kan lide at sige, at dette er billedet på fire tredjedele. Det er meget federe -- [Begejstret hujen] 
Tak! 
[Publikum klapper] Dette er ikke noget nyt. Dette har vi vidst i lang tid, men... 
[Latter] 
Men dette er fire tredjedele. 
Lad os lave et andet eksperiment. Lad os nu tage denne lyd. [Bip] 
Dette er et perfekt A, 440 Hz. Lad os multiplicere det med to. Så får vi denne lyd. [Nyt bip] 
Når vi spiller dem samtidig, så lyder det sådan her: [Nyt bip] Det er en oktav, ikke? Vi kan sagtens spille dette spil. Vi kan afspille en lyd, spille det samme A. Så kan vi multiplicere det med tre halve. 
[Nyt bip] 
Dette er hvad vi kalder et perfekt femte. 
[Nyt bip] 
De lyder ret godt sammen. Lad os multiplicere denne lyd med fire tredjedele. [Nyt bip] 
Hvad sker der? Du får denne lyd. [Nyt bip] 
Dette, er en perfekt fjerde. Hvis den første er et A, så er denne et D. De lyder sådan her sammen. [Nyt bip] 
Dette er lyden af fire trejdedele. Det jeg gør lige nu, er at ændre mit perspektiv. Jeg ser blot et nummer fra et andet perspektiv. 
Jeg kan endda gøre dette med rytmer, ikke? Jeg kan tage en rytme, og spille tre beats på samme tid [Tromme rytme] 
i et afgrænset tidsrum, og så kan jeg spille en anden lyd, fire gange i det samme tidsrum. 
[Anden rytme] 
Lyder lidt kedeligt, men prøv at lytte til dem sammen. 
[Tromme rytme og Anden rytme spiller sammen, arytmisk] 
[Latter i salen] 
Hey! Såeh. 
[Latter i salen] 
Jeg kan endda lave en lille bækken lyd. 
[Trommerytme og bækken] 
Kan I høre dette? Dette er så lyden af fire tredjedele. Og igen; dette som en rytme. 
[Trommerytme og kobjælde] 
Dette kan jeg blive ved med at gøre, og lege med dette nummer. Fire tredjedele er et virkeligt fedt nummer. Jeg elsker fire tredjedele! 
[Latter] 
Det er i sandhed, et undervurderet nummer. Hvis vi tager en sfære, og ser på massefylden af denne sfære, så er det faktisk en fire tredjedel af en bestemt cylinder. Så fire tredjedele er i sfæren. Det er sfærens masse. 
Ok, så hvorfor gør jeg alt dette? Jeg prøver jo at snakke om, hvad det betyder at forstå noget, og hvad vi mener, når vi siger vi forstår noget. Det er mit mål her. Min påstand er, at du forstår noget hvis du har evnen til at se det fra forskellige perspektiver. Lad os kigge på dette bogstav. Det er et smukt R, ikke? Hvordan véd du det? Jamen, du har jo allerede set en bunke R'er, og har ud fra dem generaliseret og har udtrukket alle disse forskellige former, og har fundet et mønster. Så du véd dette er et R. 
Så det jeg sigter efter her, er at sige noget om, hvordan forståelse og dét at ændre sit perspektiv er knyttet sammen. Jeg er lærer, og foredragsholder, og kan faktisk bruge dette til at undervise i noget. for når jeg giver andre en ny historie, en metafor, en analogi, hvis jeg fortæller en historie, fra et andet perspektiv, så faciliterer jeg forståelse. Jeg gør forståelse mulig, fordi du er nødt til at generalisere alt hvad du ser og hører, og hvis jeg forærer dig et andet perspektiv, bliver det nemmere for dig. 
Lad os tage endnu et simpelt eksempel. Dette er fire og tre. Dette er fire triangler. Så, dette er også fire tredjedele på en måde. Lad os sætte dem sammen. Nu skal vi lege en leg; hvor vi folder denne sammen til en tredimensionel struktur. Jeg elsker det her. Dette er en firkantet pyramide. Lad os tage to af disse, og sætte dem sammen. Dette hedder en oktaeder. Den er en af de fem platoniske legemer. Nu kan vi bogstaveligt talt ændre vort perspektiv, fordi vi kan rotere den rundt om alle sine akser og se den fra forskellige perspektiver. Jeg kan ændre aksen, og så kan jeg se den fra et andet synspunkt, det er den samme ting, men ser en smule anderledes ud. Jeg kan endda gøre det en gang mere. 
Hver gang jeg gør dette, opstår noget andet så jeg lærer rent faktisk noget mere om objektet når jeg ændrer mit perspektiv. Jeg kan bruge dette som et redskab til at skabe forståelse. Jeg kan tage to af disse og sætte dem sammen, sådan her og se hvad der sker. Den ligner en smule den oktaeder vi så. Se den, når jeg snurrer den rundt sådan her. Hvad sker der? Hvis du tager to af disse figurer, sætter dem sammen og snurrer dem rundt, så har du din oktaeder igen, en smuk struktur. Hvis du lægger den fladt ud på gulvet, så er dette oktaederen. Dette er den grafiske struktur af en oktaeder. Og sådan kan jeg blive ved. Du kan tegne store cirkler omkring oktaederen, og du kan snurre rundt, så hele tre, store cirkler er nu i forbindelse med oktaederen. Hvis jeg tager en cykelpumpe og puster denne op, så kan du se, at denne struktur også minder en smule om oktaederen. Kan I se hvad jeg gør her? Jeg ændrer perspektivet hver gang. 
Så lad os tage et skridt tilbage -- det er jo faktisk en metafor, at tage et skridt tilbage -- og se på hvad vi egentlig laver. Nu leger jeg med metaforer. Jeg leger med perspektiver og analogier. Jeg fortæller den samme historie på forskellige måder. Jeg fortæller historier. Jeg kreerer et narrativ; jeg skaber faktisk flere narrativer. Jeg tror at alle disse metoder, er med til at gøre forståelse mulig. Jeg tror faktisk det er essensen i, at forstå noget. Jeg tror virkelig på, det er sådan det fungerer. 
Så det med at ændre sit perspektiv, er absolut fundamentalt for mennesker. Lad os lege lidt med Jordkloden. Lad os zoome ind på havet, se på havet. Dette er muligt med alting. Vi kan se på havet, helt tæt på. Vi kan se på bølgerne. Vi kan gå på stranden. Vi kan betragte havet fra et alternativt perspektiv. Hver gang vi gør dét, lærer vi en smule mere om havet. Hvis vi går ud til kysten, kan vi faktisk dufte havet. Ikke? Vi kan høre bølgernes brusen. Vi kan smage salt på tungen. Alle disse oplevelser, er forskellige perspektiver. Og dette er den bedste; vi kan gå i vandet. Vi kan se vandet indefra. Ved I hvad? Dette er absolut essentielt for matematisk forskning og IT-videnskab. Hvis du kan se en struktur indefra, kan du virkelig lære dig noget om den. Det er, på en måde, essensen af noget. 
Så vi gør dette, og vi har taget denne rejse, ud i havet. vi bruger vores fantasi. Jeg tror dette er et niveau dybere, og er faktisk en nødvendighed for at kunne ændre på sit perspektiv. Lad os lave en lille leg. Forestil dig, at du sidder dér. Du an forestille dig, at du er heroppe, og at du sidder her. Du kan se dig selv udefra. Det er virkelig mærkeligt. Du ændrer dit perspektiv. Du bruger din fantasi. Ser dig selv udefra. Det kræver fantasi. 
Matematik og IT-videnskab er de mest kreative kunstarter der nogensinde har eksisteret. Det her med at skifte perspektiver; burde lyde genkendeligt for jer, for vi gør det hver eneste dag. Det hedder empati. Når jeg ser verden, fra dit perspektiv, så har jeg empati for dig. Hvis jeg virkelig, i sandhed forstår hvordan verden ser ud fra dit perspektiv. så er jeg empatisk. Det kræver fantasi. Og det er sådan vi opnår forståelse. Dette går igen i hele matematikkens verden, og i al IT og computer videnskab, der er en virkelig dyb forbindelse mellem empati og disse videnskaber. 
Så min konklusion er følgende: At forstå noget, særligt dybt har at gøre med evnen til at ændre sit perspektiv. Så mit råd til her er følgende: Prøv at ændre dit perspektiv. Du kan studere matematik. Det er en vidunderlig måde at træne din hjerne på. At ændre perspektiv gør dit sind mere fleksibelt. Gør dig mere åben overfor nye ting, gør dig i stand til at forstå ting. For nu at bruge endnu en metafor: hav et sind som vandet. Det er lækkert. 
Tak. 
[Bifald] 
