本文档分三部分：① 中英文逐句对照翻译；② 全中文规范解答（按李思然老师习惯的符号与书写风格）；③ 深入浅出的整体串讲。
| 符号 | 含义 |
|---|---|
| 赋范向量空间（数域 或 ，本套题取 ） | |
| 的有界线性算子全体； 同理 | |
| 的对偶空间（连续线性泛函全体） | |
| 的二次对偶（bidual） | |
| 范数；不致混淆时省略下标 | |
| 算子 的值域（range） | |
| 算子 的核（kernel） | |
| 集合 的闭包 | |
| 点到子空间的距离 | |
| 以 为心、 为半径的开球 | |
| 证毕 |
约定：本套题中 既可指算子也可指泛函，按上下文区分。
English.
Let be a Banach space and . We say that is bounded from below if there exists such that for all .
(1). Show that if is bounded from below, then it is injective and has closed range.
(2). Show that if is bounded from below and has dense range (), prove that is a normed vector space isomorphism; i.e., is invertible with bounded inverse.
中文.
设 为 Banach 空间，（ 上的有界线性算子）。称 下方有界（bounded from below），若存在 ，使得 对一切 成立。
(1). 证明：若 下方有界，则 是单射且值域是闭的。
(2). 证明：若 下方有界且值域稠密（），则 是赋范空间的同构；即 可逆，且其逆算子有界。
设 下方有界，即
单射性. 设 。由 ， 故 ，即 。于是 ， 为单射。
值域闭性. 设 ，取 使 。下证 为 Cauchy 列。对任意 ，利用 与 的线性： 因 收敛，故为 Cauchy 列，从而上式右端 ， 也是 Cauchy 列。由 完备，存在 使 。再由 连续， 而极限唯一，故 。于是 ，即 是闭的。
注. 闭值域的证明恰好用到了 的完备性——这是 Banach 空间假设的关键落点。下方有界把" 的 Cauchy 性"反向传回" 的 Cauchy 性"，这是核心机制。
由 (1)， 闭，即 。又设值域稠密 ，两式合并得 即 满射。结合 (1) 的单射性， 是双射，故存在逆映射 。
线性. 任取 ，记 （即 ）。由 线性，，两边作用 得 故 线性。
逆算子有界. 任取 ，记 （即 ）。由 ： 故 且 。
于是 是双射、双向有界的线性映射，即赋范向量空间的同构（拓扑同构）。
注（与开映射定理的关系）. 也可援引逆算子定理（开映射定理的推论）：Banach 空间之间的连续线性双射其逆自动连续。但本题给了下方有界这一更强条件，直接用 估计 更干净，且不必动用开映射定理。
English.
Let be equipped with the supremum norm. Define by
(1). Prove that is a bounded linear functional; i.e., .
(2). Compute the operator norm of .
(3). Is the norm attained? That is, does there exist such that and ? Justify your answer.
中文.
设 赋以上确界范数（即 ）。定义 为
(1). 证明 是有界线性泛函，即 。
(2). 计算 的算子范数 。
(3). 该范数是否可达？亦即：是否存在 满足 且 ？请给出论证。
记 ，并注意可把 写成核为符号函数的积分泛函：
线性. 积分关于被积函数线性，故对 ，
有界. 对任意 ， 故 有界，，且
上界已得 。只需构造 使 。
取奇的连续逼近 （），逼近 ： 显然 ，，且 为奇函数。由奇性 ，于是 而 故 因此 。结合 得
结论：不可达。 即不存在 同时满足 与 。
反证. 设有这样的 ， 即 ，且 。沿用 (1) 的不等式链： 等号成立必须两段都取到 ：
两者要求 又 ，矛盾。故无此 ，范数不可达。
直观. 唯一"想取到上界"的对象是符号函数 ，它在 处跳跃、不连续，跳出了 。这正是连续函数空间（与 不自反、单位球非弱*紧之外的一个侧面）中上确界常常"逼近但取不到"的典型现象。
English.
Let be an infinite-dimensional Banach space. Show that every open ball in contains an infinite number of disjoint open balls of equal radii.
Remark. For those of you who know measure theory — you may deduce from this question that there is no translation-invariant Borel measure on such that for every open set , unless is infinite on any open set.
中文.
设 为无穷维 Banach 空间。证明： 中的每个开球都包含无穷多个互不相交、半径相等的开球。
注. 若你了解测度论：可由本题推出， 上不存在这样的平移不变 Borel 测度 ——它对每个开集 都满足 ——除非 在任意开集上都取无穷大。
核心工具是 Riesz 引理（F. Riesz）。
Riesz 引理. 设 是赋范空间 的真闭子空间（）。则对任意 ，存在 ，，使 。
第一步：构造"几乎正交"的单位向量列. 取 。归纳构造 ，：
于是得到无穷列 满足
第二步：在任意开球内安放小球. 设 为任意开球（）。令小球圆心
取小球半径
（i）小球互不相交. 若 （），则 与 矛盾。故诸 两两不交。
（ii）小球都在 内. 对 ， 故 ，即 。
综上， 是 内无穷多个互不相交、半径同为 的开球。
注 1（不需要完备性）. Riesz 引理对一般赋范空间成立，有限维子空间天然闭，故本证明对任意无穷维赋范空间都有效，并不真正用到 的完备性——题目写 Banach 只是更具体的情形。
注 2（解释 Remark）. 设有平移不变 Borel 测度 ，对每个开集取正值。若 在某开集 上有限（，否则即落入 Remark 所述" 在任意开集上恒为 "的例外情形），则 含某开球 ，由单调性 。对此开球 套用上面的塞球结论：诸小球 （）互为平移（），由平移不变性它们测度相同，记为 （开集正测度）。它们互不相交且都在 内，故 与 矛盾。结论：无穷维空间上不存在"有限且处处正"的平移不变测度——这正是无穷维空间没有 Lebesgue 测度类比物的根本原因。
English.
Let be a normed vector space. Recall that the norm of is defined by . We shall omit the subscripts for norms when there is no danger of confusion.
(1). Prove that for any , we have .
(2). Prove that for any , we have .
(3). Define the map given as follows: for each and , set . Here is known as the bidual of . Show that is a bounded linear injective operator such that for each .
Remark. is known as the canonical isometric embedding of into its bidual. Note that is simply the evaluation map at .
中文.
设 为赋范向量空间。回忆 的范数定义为 。在不致混淆时省略范数的下标。
(1). 证明：对任意 ，有 。
(2). 证明：对任意 ，有 。
(3). 定义映射 如下：对每个 与 ，令 。其中 称为 的二次对偶（bidual）。证明 是有界、线性、单射的算子，且对每个 都有 。
注. 称为 到其二次对偶的典范等距嵌入（canonical isometric embedding）。注意 不过是"在 处求值"的求值映射。
记 因 ，单位球面 非空， 有意义。
两向夹逼得 ，即
记 。
上界 . 对 ，，取上确界即得。
下界（且上确界可达）.
推论（支撑泛函的存在）. 对 ，存在 ，，使 。
证. 在一维子空间 上定义 。则 ，且 ，故 。由 Hahn–Banach 保范延拓定理，存在 ， 且 。特别 。
于是对该 （）有 ，故 ，并且上确界被取到。
综合得
注. (1) 是"代数/初等"的；(2) 的下界本质依赖 Hahn–Banach——正是它保证对偶空间 足够"丰富"，能把每个向量的范数"测"出来。 同样经 Hahn–Banach 保证 。
对 ， 是定义在 上的函数：。
(a) （在 上线性且有界）.
(b) 线性. 对 及任意 ， 因对一切 成立，故 。
(c) 等距 . 因 ，由 (2) 注中的 Hahn–Banach 推论 ，故 的单位球面非空，可对赋范空间 施用 (1)（把 看作 上的有界泛函），再用 (2)：
(d) 有界且单射. 由 (c)，，故 有界且算子范数 （）。又若 ，则 ，即 ，故 ， 单射。
综上， 是有界、线性、单射且保范（等距）的算子，即 到 的典范等距嵌入。
注（自反性的引子）. 总是等距嵌入，但未必满射。当 也满射（即 ）时，称 为自反空间（reflexive），如 Hilbert 空间、；而 、、 等不自反。第二题中"范数逼近但不可达"正与 的不自反性气味相投。
四道题看似零散，其实串起了泛函分析"线性算子—对偶—嵌入"的一条主线：
第一题——"下方有界"是什么. 算子范数 控制的是"上界"；而 控制"下界"。下界保证了 "不压缩"——既不会把非零向量打到 （单射），也不会让值域"漏出边界"（闭值域）。再补上稠密性把"闭"升级为"全空间"，就得到了同构。口诀：下方有界 + 完备 ⟹ 闭值域；再加稠密 ⟹ 同构。
第二题——抽象范数如何落到具体泛函. 把"求 "翻译成" 的最优常数 "。上界靠三角不等式，下界靠构造逼近列。第 (3) 问点出连续函数空间的"软肋"：最优解是 ，落在 之外，于是上确界逼近而不可达——这是无穷维分析里最常见的"差一点"。
第三题——无穷维的"几何反直觉". 有限维里单位球紧、球内塞不下无穷个等大不交球；无穷维里 Riesz 引理造出"几乎正交"的单位向量列，球面不紧，于是任何球内都能塞进无穷个等大不交小球。它的"测度论遗产"是：无穷维空间没有 Lebesgue 测度（没有处处正、平移不变、且局部有限的测度）。
第四题——对偶空间为什么"够用". (1) 把范数从闭球缩到球面（技术性热身）；(2) 是灵魂： 可以反过来用泛函"测"出来——这要靠 Hahn–Banach；(3) 把 (2) 升华为结构性结论：每个空间都能等距地坐进自己的二次对偶 。这枚嵌入是否满射，决定了空间是否自反。
一句话总括. 下方有界给"算子可逆"的判据；具体泛函演示"范数计算与不可达"；无穷维球的塞球性揭示几何与测度的反直觉；而对偶刻画与典范嵌入说明——有界线性泛函足够丰富，能反过来重建向量的范数与空间的几何。这正是 Hahn–Banach 定理在泛函分析中的统治地位所在。
English.
a closed subspace of (sup norm) whose every element is . Show is finite-dimensional.
中文.
是 （上确界范数）的闭子空间，每元素有连续导数。证明 必有限维。
求导映射 线性。
(1) 完备，闭子空间 仍完备（闭图像定理所需的完备性，落点即闭假设）。
(2) 闭图像定理。 设 均一致； 闭故 。由 及一致收敛得 ， 连续故 。得 。
(3) AA + Riesz。 ：一致有界由 ，等度连续由 得 （，兼顾 ）——皆由 有界给出，AA 得相对紧； 闭故紧。Riesz（有限维 单位球紧）得
∎
注. 显式单射 （细度 ）须对核元 由 推 方单射。
完备性经闭图像定理把求导化为有界算子，AA 给相对紧，Riesz 反推有限维。
English.
Let be Banach spaces and . Show TFAE:
(1) has closed range in ;
(2) is open when considered as a mapping (the range carries the subspace norm of );
(3) There exists such that for every there exists with .
中文.
设 为 Banach 空间，（即 是从 到 的有界线性算子）。证明以下三条等价（TFAE = the following are equivalent）：
(1) 在 中具有闭值域，即 是 的闭子空间；
(2) 当把 视为映射 （值域 赋以 诱导的子空间范数）时， 是开映射；
(3) 存在常数 ，使得对每个 ，都存在原像 满足 （即每个值都可被一个范数受控的原像“反解”出来）。
预备构造（贯穿全题的诱导算子）。 由于 连续， 是 的闭原像，故 是 的闭子空间。理由不可跳过： 闭， 连续蕴含闭集的原像为闭集，所以 闭。
由于 完备且 是其闭子空间，商空间 在商范数
下是 Banach 空间（完备空间对闭子空间的商仍完备——这是商空间完备性的标准定理，落点正是 完备 闭）。
定义诱导算子
它良定义：若 ，则 ，故 。它线性显然。它单射：若 则 即 ，故 。它有界：对任意 ，
对右端关于 取下确界得 ，故 且 。最后 与 同值域：。
下面给出三向闭环 、、，由此 ，三条两两等价。
设 在 中闭。因 完备，其闭子空间 在子空间范数下仍完备，故 是 Banach 空间。
将 视为映射到其值域：
此时 是两个 Banach 空间之间的连续双射：
由【开映射定理】（Banach 空间之间的连续满射线性算子是开映射；其前提“定义域、到达域均完备 连续 满”此处全部满足）， 是开映射。对一个连续线性双射而言，开映射等价于其逆 连续（这正是 Banach 逆算子定理的内容，是开映射定理的推论）。于是存在 使得
即对 有 。等价地，下方有界估计
成立。
现由商范数为下确界这一事实“兑现”出原像。固定 ，，取任一 使 ，则 。由
是下确界（不一定取到，故需 处理；此处取 ），存在 使
令 ，则 （因 ），且 。
边界情形 ： 取 ，则 ，估计平凡成立。
取 ，即得
这正是 (3)。
附注（关于 与“用 ”）： 这里用加 （而非加任意固定常数 ）以保持齐次性，从而得到统一常数 ；若仅取 -代表元（对每个 取满足 的代表元），会得到逐点常数 ，再对 缩放即可，本质一致。核心是商范数是 而非 ，必须用接近下确界的代表元。
设存在 满足 (3)。要证 在 中闭。
任取 中收敛于 中某点的序列：设 且 （在 中）。须证 。
因 收敛，它是 中的 Cauchy 列。无须直接控制 （它们可能很大），而是控制相邻差。注意值域是子空间，对差封闭，故 。
为得 Cauchy 原像列，先抽取快速收敛子列。因 Cauchy，可取下标 使
（Cauchy 列必有满足此几何衰减的子列：逐次选取下标即可。）对每个 ，由 (3) 取 使
于是 ，级数绝对收敛。由于 完备（关键落点：完备空间中绝对收敛级数收敛），取定起点 （满足 ），部分和
收敛于某 。
计算 ：由线性与望远镜求和，
令 ：左端 （ 连续，）；右端 （它是收敛列 的子列，故与全列同极限 ）。由极限唯一性，
故 。由 任意， 包含其全部极限点，即
这正是 (1)。
边界情形： 若从某项起 恒等于 ，则 直接成立；上述构造对该平凡情形（ 可取 ）依然有效。
将 视为到达域为 的满射 （赋子空间范数）。下面把“开映射”翻译为定量估计，双向互推。
： 设 开。开映射把开集映为开集，特别地把 的开单位球 映为 中的开集 ，且 。故存在 使 中的开球 满足
取常数 。现取任意 。
（此处不必对 取极限：对给定的 只需固定一个 即足，取 时系数 。）
综上，对每个 都存在 使 （实际为 ，当 ）。故 (3) 成立（）。
： 设 (3) 成立，常数为 。要证 开。对线性算子，开映射等价于其在原点处“覆盖一个球”，再由线性平移与伸缩传播到处。
原点处覆盖。 断言：。事实上，设 且 。由 (3) 存在 使 且
故 ，从而 ，断言得证。
传播到任意开集。 对任意开集 与任意 （其中 ），取 使 。则由线性以及上述覆盖与伸缩，
右端是 在 中以 为半径的开球邻域，且含于 。由 任意， 是 中开集，即
这正是 (2)。
闭环总结。 已证
由 与 ，三条命题两两等价，TFAE 成立。
这道题的核心机制是把一个未必单射、未必满射的算子 通过商空间“正规化”为一个连续双射 ，从而把问题归约到“开映射定理 / 逆算子定理”的标准战场——而这套机器只有在两端都完备时才能开动，因此条件 (1)“值域闭”恰恰是用来保证到达域 作为 的闭子空间是 Banach 空间的那块拼图，缺了它开映射定理就用不上。三条等价的实质是同一件事的三种语言：闭值域（拓扑）、开映射 / 下方有界（几何）、原像范数受控（定量），其中 (2)(3) 纯属把“开”翻译成对单位球的覆盖估计、再用线性齐次性缩放，不需要任何大定理。最易错的两处：一是商范数是 而非 ，从 兑换出真正的原像 时必须用“接近下确界的代表元”做 （或 ）处理；二是 中不能直接控制 （它们可能爆掉），而要对相邻差 取受控原像、抽几何衰减子列，借 完备让绝对收敛级数收敛出极限原像——这一步的完备性落点是整个反向蕴含的命门。此外， 中对给定的 只需固定取一个 即可读出受控原像，不必对 取极限（ 族未必收敛），这是把“开”定量化时容易写虚的地方。
English.
Let , a Banach space under the sup norm (no measurability assumption).
Prove: there exists a linear functional on (a Banach limit) such that
(1) whenever the usual limit exists;
(2) is linear;
(3) for any and ;
(4) for all .
Hint. Consider the positively homogeneous sublinear functional , where .
中文.
设 ，在上确界范数下构成 Banach 空间（不作任何可测性假设）。
求证：在 上存在一个线性泛函 （Banach 极限），满足
(1) 当通常意义下的极限存在时，；
(2) 是线性的；
(3) 对任意 与 ，有 （平移不变性）；
(4) 对一切 ，有 。
Hint. 考虑正齐次次线性泛函 ，其中 。
记号约定。 对 与节点组 （，），令平移平均
并按提示定义
注意 ，故 ，从而上式 是对一个含于 的非空有界数集取下确界， 是一个良定义的有限实数（这一步用到 的有界性，故 ）。
整个证明的主干是：先证 为次线性泛函（(a)），并定出其与 的夹逼关系（(b)）；再在收敛函数子空间上取 并验证 （(c)）；用 Hahn–Banach 延拓定理（实形式，由次线性控制）延拓为全空间上的 ；最后由夹逼推出 (1)(4)（(d)）、由对平移差的估计推出 (3)（(e)）。
正齐次性。 设 。对任一节点组，。由于 ，上极限对正数因子可外提：，故 。对节点组取 时正数因子 可外提，得
边界情形 ：对常值零函数，任何 ，故 。两者合并即得对一切 的正齐次性。（注：次线性泛函只要求 齐次，不要求对负数齐次，这正是 的特点，下文 (b) 会处理 。）
次可加性 。 这是本题的技术核心，分两步。
第一步（同一节点组上的次可加）。 对固定节点组 ，由 的次可加性（对任意两族实数 有 ，因为对任意 ，当 充分大时 且 ，相加再令 ）：
第二步（不同节点组的合并技巧）。 设 的节点组为 、 的为 （一般两组互异）。构造乘积合并节点组：取 个节点
记其平移平均为 。关键的两条恒等式如下。
对 ，由于该合并组的平均恰是先按 平移、再按 平移取平均的复合：
对每个固定 ，（平移 不改变 的上极限）。再用 对有限和的次可加性，
完全对称地（把 换成 ，并将合并平均写成先按 平移、再按 平均的复合）得
于是在同一合并节点组 上应用 ，再用 、：
而 （ 不大于任一具体取值），故
最后对 的节点组取下确界、再对 的节点组取下确界（右端两项相互独立，可分别逼近各自的 ），得
正齐次性与次可加性合起来， 为 上的次线性泛函。（(a)）
。 取最简单的单节点组 ，则 ，。由 定义，
。 将 (b1) 用于 ：，两边取相反数得
一般次线性性质 。 由次可加性与 ：
综合 (b1)(b2)(b3) 得到夹逼链
（(b)）
记
是 的线性子空间（极限的线性性使收敛函数的线性组合仍收敛），在其上定义
在 上线性（极限运算线性）。验证 于 ：设 且 ，则 ，于是夹逼链 两端相等而退化为等式链：
于是在子空间 上恒有
援引 Hahn–Banach 延拓定理（实向量空间形式）。 前提核查： 是 上向量空间， 由 (a) 是次线性泛函（正齐次 次可加）， 为线性子空间， 线性且被 控制（即 (c1)）。三条前提齐备，Hahn–Banach 定理保证存在线性泛函 ，使
定义 。下证它满足 (1)–(4)。（注：此处仅用到 Hahn–Banach 的次线性控制版本，不依赖 的拓扑/完备性来作延拓；完备性只在“ 是 Banach 空间”这一陈述里出现，对存在性论证并非必需。）（(c)）
(2) 线性。 由 (c2) 即 Hahn–Banach 给出的线性泛函，线性性自动成立。
(4) 夹逼。 对任意 ，由 (c2) 有 ；将 (c2) 用于 并取相反数：，而 线性故 ，于是 。结合 ：
即
(1) 相容性。 若 存在，则 ，由 (c2) 的延拓相容性 ，即 。（亦可直接由 (4)：此时 ，夹逼即得 。）（(d)）
特别地，取 （常值）得 ，故 ，泛函非平凡。
固定 ，令 ；显然 （有界性保持）。目标是 。由 线性，等价于证 。利用 (4)/(c2)，只需证
因为届时 且 ，两面夹出 。
证 。 取伸缩平均节点组 ，（即 ，均 ）。设 ，则 ，于是其 Cesàro 平均望远镜相消：
由 ，得 ，与 无关，故
因 对一切 成立，令 得
证 。 取相同节点组，对 有 ，同样 ，从而 ，即 。
于是 (e0) 成立，按上述夹逼得 ，即
（(e)）
结论。 由 (a)–(e)，Hahn–Banach 延拓所得的 同时满足 (1) 相容性、(2) 线性、(3) 平移不变、(4) 夹逼，故 上 Banach 极限存在。
核心机制是“用次线性泛函 把想要的全部性质打包成单边控制，再让 Hahn–Banach 把子空间上的真极限 延拓到全空间且保持被 压住”。之所以非用 Hahn–Banach 不可：我们要在不可数维、无任何收敛性假设的有界函数空间上造出一个处处有定义、且与极限相容的线性泛函，构造性方法（取极限、取积分）都失效，只能靠 Hahn–Banach 这一“纯代数延拓”工具，它恰好只需要一个次线性控制 。
设计 的诀窍在于把 的“平移平均下确界”同时编码了三件事：(b1) 给出 ， 给出 （推出 (4) 与 (1)），而望远镜相消给出 （推出平移不变 (3)）。
最易错的两点：其一是次可加性的证明——两组节点不同，必须用乘积合并节点组 并借助 对平移的不变性 ，不能在不同节点组间硬套 ；其二是 只满足次可加 而非可加，且正齐次只对 成立，故 必须单独处理（这正是 出场、并在 (c) 中由 在收敛点退化为等式链得到 的原因）。
English.
Let be a metric space. Show TFAE:
(1) every residual set in is dense;
(2) if is a nonempty open set, then is not meagre;
(3) if is a sequence of closed sets with empty interior, then has empty interior;
(4) if is a sequence of dense open sets, then is dense.
(Hence deduce that any nontrivial Banach space is non-meagre in itself.)
中文.
设 为度量空间。证明下述四条彼此等价（TFAE = the following are equivalent）：
(1) 中的每个剩余集（residual / comeagre，即贫集之补）都是稠密的；
(2) 若 是非空开集，则 不是贫集（meagre / first category，即不能写成可数个无处稠密集之并）；
(3) 若 是一列内部为空的闭集，则它们的并 的内部仍为空；
(4) 若 是一列稠密开集，则它们的交 仍是稠密的。
（由此推出：任何非平凡的 Banach 空间在其自身中是非贫集。）
记号与定义的精确化。 在度量空间 中，约定：
下面所有运算反复使用 De Morgan 律 与下述两条基本的取补对偶（对任意 ）：
证明 第一式： 当且仅当存在 的某邻域含于 ，即该邻域与 不交，即 ；故 。第二式由第一式将 换成 后再取补即得。这里不需要任何完备性——以下四条全是纯拓扑的等价刻画，完备性只在最后导出"Banach 空间满足这些条件"时（经 Baire 纲定理）才登场。
我们还反复用到两条单调性事实，皆为定义直推：(i) 若 则 无处稠密由 无处稠密推出（因 ，故 ）；(ii) 贫集的任何子集仍贫（将 (i) 逐项作用于其无处稠密分解）。
证明路线取闭环 。
设 成立。反证：设存在非空开集 为贫集。
由定义， 贫 是剩余集。由 ，剩余集 稠密，即 。两边取补并用 第一式（取 ）：
但 是开集，故 ，于是 ，与 非空矛盾。
∎
设 成立。取一列内部为空的闭集 ，记 。需证 。
由于每个 是闭集且 ，按上文约定，每个 都是无处稠密集（闭集情形无处稠密 内部空）。故 是可数个无处稠密集之并，即 是贫集。
反证：设 ，令 ，则 是非空开集且 。下证 仍是贫集：写 （ 无处稠密），由 得
而 ，由单调性 (i) 知每个 也无处稠密，从而 是可数个无处稠密集之并，即 贫。于是得到一个非空开的贫集 ，与 矛盾。
故 。
∎
设 成立。取一列稠密开集 ，记 。需证 ，等价地 （由 第二式取 ：，故 ）。
令 。逐项核对 的性质：
于是 恰为一列内部为空的闭集。由 De Morgan，
对此并集应用 ，得 。再由上一段的等价，，即 稠密。
∎
设 成立。取任一剩余集 ，需证 。
由定义， 贫，写 ，每个 无处稠密，即 。关键的"闭包加粗"步骤：令
逐项核对 的性质：
于是 是一列稠密开集。由 De Morgan，
（这里用到 ，故 ，取补反向包含。）由 ， 稠密；既然它含于 ，则更大的 也稠密（稠密集的过集仍稠密：）。故 。
∎
至此 闭环完成，四条彼此等价。
∎
设 是 Banach 空间。作为完备度量空间， 满足 Baire 纲定理（Baire Category Theorem）：完备度量空间中可数个稠密开集之交仍稠密——这正是条件 。此处完备性是落点所在：Baire 定理的证明用到完备度量空间中半径趋零的闭球套有非空交（Cantor 交定理），缺了完备性则 未必成立。
由已证等价， 同时满足 。而 自身即是 的非空开子集（恒含零向量 ，故非空），对它应用 即得：
关于"非平凡"。 条件 中所需的只是"非空开集"，而 在自身中恒为非空开集，因此上述结论对任意 Banach 空间（含平凡空间 ）都成立——在 中唯一的非空子集 满足 ，故它本身就不是无处稠密集，更非贫集。题中加"非平凡"（即 ）只是为了让结论非平凡有趣：当 时 含 与某 ，从而含全体 （ 取遍标量域），是一个真正"大"的空间，"不能被可数个无处稠密集填满"这一性质才有实质内容。
特别地， 不能写成可数个无处稠密闭集之并——这正是闭图像定理、开映射定理、一致有界原理（Banach–Steinhaus）等"三大定理"赖以成立的纲性基础。∎
本题的核心机制是取补对偶：稠密开集与无处稠密闭集互为补，剩余集与贫集互为补，交与并经 De Morgan 互换。四条命题其实是同一件事在"开集语言"与"闭集语言"、"交"与"并"之间的镜像翻译，因此每一步推导都只是把一种表述按 与 De Morgan 机械地翻成另一种，完全不动用完备性——这点务必看清：Baire 性质（即这四条对该空间成立）才需要完备性，而四条之间的等价是纯拓扑恒等。最易错处有二：一是 中必须把无处稠密集 加粗成闭包 再取补，否则 不一定开、也不一定稠密；二是混淆"无处稠密"对一般集（用 ）与对闭集（退化为 ）的判据， 的衔接正卡在"闭集无处稠密 内部空"这一观察上。最后的推论提醒：Banach 空间"在自身中非贫"是抽象但极有用的结论，它是泛函三大定理的统一出发点；其证明把完备性恰好封装进 Baire 定理这一条，再借四条等价自由地在四种等价表述间切换。
English.
Let be a Banach space and normed spaces over or . Let be bilinear.
Prove TFAE (the following are equivalent):
(1) is bounded: there exists such that for all .
(2) is continuous (jointly continuous on ).
(3) is separately continuous in each variable.
中文.
设 是 Banach 空间， 是数域 或 上的赋范空间。设 为双线性映射。
证明下述三条等价：
(1) 有界：存在 ，使得对一切 有 。
(2) 连续（在乘积空间 上联合连续）。
(3) 对每个变元分别连续。
记 上的范数为 （任一等价的乘积范数皆可，连续性概念不变）。下证 。
设 (1) 成立，即存在 使 。固定 ，任取 。利用 在两个变元上的双线性性作如下分解： 验证此恒等式：由双线性性，，又 ，两式相加恰得右端 ，故恒等式成立。
对右端用三角不等式与有界性估计： 设 ，即 且 。此时 有界（在 的某邻域内不超过 ），而 为常数。于是右端两项分别被
控制，故 。由于 任意， 在 上处处（联合）连续。∎
注（边界情形）. 若 或 ，上述估计对应项自动为 ，结论照常成立；这里无需单独讨论，因分解恒等式与范数估计对一切点一致有效。
设 (2) 成立。固定 ，考虑切片映射 。该映射连续（因 ，即 是等距嵌入，从而连续）。于是 作为两个连续映射之复合而连续，即 对第一变元连续。同理固定 ，（其中 等距连续）连续，即 对第二变元连续。故 分别连续。∎
这是本题关键，须借助 的完备性与 一致有界原理（Banach–Steinhaus 定理）。
第一步：把切片整理成有界线性算子族。 固定 ，定义 由 关于第一变元的双线性性， 是线性的：。又由 (3)， 连续，故 是连续线性算子。线性映射连续当且仅当有界，故 ，其算子范数 。
考察单位球上的算子族
第二步：验证 在 上逐点有界。 固定任一 。由 (3)，第二变元的切片映射 同样是连续线性算子（线性性来自第二变元双线性，连续性来自 (3)），故 ，。注意 ，且算子范数恰为闭单位球上的上确界 （这是算子范数的定义）。于是 此即：对每个固定的 ，量 。故族 在 上逐点有界。
注（方向要点）. 此处务必固定 而让 跑遍单位球：逐点有界的"点"是 中的 ，上界 由第二变元切片 的有界性提供。切勿反向。
第三步：调用一致有界原理。 此处关键地用到 是 Banach 空间（完备）——这是 Banach–Steinhaus 定理对定义域的前提（其证明依赖 完备上的 Baire 纲定理；若 仅赋范不完备，逐点有界推不出一致有界，结论可能失效）。注意值域 只需赋范、不必完备。 是从完备空间 到赋范空间 的连续线性算子族，且逐点有界，故由
得 一致有界：
第四步：导出双线性有界估计。 先处理 的情形。对任意 与 ，令 ，则 ，，故 。利用 对第二变元的齐次性（）： 边界情形 ： 由双线性性（对第二变元的齐次性），，故 ，不等式平凡成立。边界情形 同理：，估计两端皆为 。
综上，对一切 ， 即 (1) 成立。∎
三条蕴含 已证，故三者等价。
核心机制是把"双线性"拆成"对每个变元的线性切片"： 靠双线性恒等式 把增量分配到两个单变元上再用范数估计，是纯代数加三角不等式； 只是把联合连续限制到等距切片上。真正的难点与全部"力气"在 ：分别连续只给出每个切片各自有界（、），但这只是"逐变元"的局部信息，要得到统一常数 必须跨越"逐点有界 一致有界"这道坎，而这正是 Banach–Steinhaus 的职责——它把"对每个 族 都有界"提升为"算子范数本身一致有界"。最易错的两点：一是忘记点明 完备（这是 UBP 经由 Baire 纲定理成立的前提，缺了它命题对一般赋范 不真；而值域 无须完备）；二是搞反逐点有界的"方向"——要固定 让 跑遍单位球（用第二变元切片 的有界性提供上界 ，且 即闭单位球上的算子范数上确界），而非反过来。最后别忘了 、 的退化情形由双线性性（标量 提出）直接给零，需单独点一句以求严谨。
English.
(R. G. Douglas, 1966) Let be Banach spaces, and bounded linear operators, with injective.
Show TFAE (the following are equivalent):
(1) ;
(2) there exists a bounded linear operator such that .
Remark. This is a (simplified, injective) special case of the Douglas range inclusion / factorization theorem. Note that we do not assume is closed.
中文.
（R. G. Douglas，1966）设 为 Banach 空间， 与 为有界线性算子，且 为单射。
试证下列两条等价（TFAE，即 "the following are equivalent"）：
(1) ，即 的值域包含于 的值域；
(2) 存在有界线性算子 ，使得 。
附注. 这是 Douglas 值域包含（因子分解）定理在 单射情形下的（简化）特例。注意我们并不假设 是闭的。
我们证明 。
设存在有界线性算子 使 。任取 ，则存在 使 。于是 由于 任意，故 。
（边界情形：若 ，则平凡地 ，包含仍成立。）
∎（此方向）
这是核心方向。设 。我们分三步：先构造 ，再验证其线性，最后用闭图像定理证其有界。
第一步： 的良定性与 的构造。
因 为单射，故 作为从 到其值域 的映射是双射，从而存在逆映射 这里必须点明：单射性恰好保证了"对每个 ，方程 的解 唯一"，否则 无法良定。具体地，若 ，则 ，由 单射得 ，故解唯一， 有意义。
现对每个 ，由假设 (1)， 故存在唯一的 使 。我们定义 即 是上述唯一的 。由构造立刻有，对一切 ，
第二步： 的线性。
取 与标量 。记 ，即 （）。由 线性， 故 是方程 的解；由第一步的唯一性，该解恰为 。于是 即 线性。（边界情形 ：由唯一性与 得 ，与线性相容。）
第三步： 的有界性——闭图像定理。
这里必须解释为何不能直接断言 有界。 是定义在子空间 上的线性算子。在 均为 Banach 的前提下，由有界逆定理（开映射定理的推论）可知， 有界等价于 在 中是闭子空间：
但本题不假设 闭，故 一般未必有界。因此不能由 "、 有界、 有界" 推出 有界。我们绕开此障碍，直接对复合算子 用闭图像定理。
闭图像定理（Closed Graph Theorem）. 设 均为 Banach 空间， 线性。若 的图像 在 中闭，则 有界。
前提核验：题设 均为 Banach 空间（完备性在此落点——闭图像定理本质依赖于 的完备性，其证明回溯到 Baire 纲定理 / 开映射定理）；上面已证 线性。故只需验证图像闭。
按图像闭的序列刻画（ 为度量空间，闭等价于序列闭），设序列 ，即 需证 ，即 。
利用 的连续性，由 得 另一方面，由 有 ；又 连续且 ，故 同一序列 在 Banach 空间 中的极限唯一，比较 (i)(ii) 得 又由 知 ，于是 此处再次、且关键地用到 的单射性： 迫使 ，即 （注意单射性在此的作用：去掉它，上面的极限步至多给出 ，无法据此锁定 ——事实上若 非单射， 与 在第一步根本无法良定。这正是定理需要 单射之处。）
故 ，即 闭。由闭图像定理， 这就给出了 (2)。∎
综合两个方向， 得证。
∎
核心机制是把"值域包含"翻译成"算子方程可解"：单射性让逆映射 在 上良定，于是 唯一确定且自动满足 ，因子分解的"存在性"是构造层面的，几乎免费。真正的难点全在有界性。最容易犯的错是想当然地说" 有界、 有界，故 有界"——但在 完备的框架下， 有界等价于 闭（有界逆定理），而本题恰恰不假设值域闭，故此路不通。正确的工具是闭图像定理：它把"求 的范数估计"换成"验证图像闭"这一更软的拓扑条件，而验证图像闭时， 的连续性把 中的收敛搬到 中， 的连续性给出极限的另一种表达，最后由 的单射性消去 锁定 。 的完备性是闭图像定理的隐形前提，缺一不可——这也是为什么命题必须在 Banach 空间框架下陈述。
值得回味的是单射性在证明里出现了两次：一次保证 （进而 ）良定，一次在闭图像的极限步把 升级为 。两处缺一，论证即断。Douglas 原始定理（Hilbert 空间、不要求 单射）还能进一步给出范数控制与正算子刻画，本题取单射特例，恰好把"闭图像定理 + 单射性"这一最干净的机理凸显出来。
English.
(Banach–Steinhaus) Let be Banach spaces and a sequence of bounded linear operators.
Show TFAE (the following are equivalent):
(1) for each , converges in ;
(2) and there is a dense subset such that is Cauchy in for every ;
(3) and there is a bounded linear operator such that strongly and .
Also show: still holds when is not complete; and still holds when is not complete.
中文.
（Banach–Steinhaus）设 为 Banach 空间， 是一列有界线性算子。
证明下述三条等价（TFAE = the following are equivalent）：
(1) 对每个 ，序列 在 中收敛；
(2) ，且存在稠密子集 ，使得对每个 ， 在 中为 Cauchy 列；
(3) ，且存在有界线性算子 ，使得 强收敛（逐点收敛），并且 。
另证：当 不完备时， 仍成立；当 不完备时， 仍成立。
我们先在 均为 Banach 空间的标准假设下证明 （如此即得三者两两等价），再单独讨论两种非完备情形并精确标注每一步所依赖的完备性落点。
为统一记号，记 （当有限时），并约定算子范数 。
第一步：逐点收敛蕴含逐点有界。 设 (1) 成立。固定 ，则 在 中收敛，从而它是有界序列（收敛序列必有界：若 ，取 使 时 ，故 ，再与前 项取最大值）。于是
这正是算子族 在每一点 处逐点有界。
第二步：一致有界原理。 此处援引【一致有界原理（Banach–Steinhaus 定理）】：
设 为 Banach 空间（其证明依赖 的完备性，经由【Baire 纲定理】：完备度量空间不能写成可数个无处稠密闭集之并）， 为赋范空间，。若 对每个 成立，则 。
前提核验： 是 Banach 空间（完备性满足，这是用到 Baire 纲定理的关键落点），各 有界，且第一步已得逐点有界。故定理可用，得
注意：这一步且仅这一步用到了 的完备性；本蕴含中不需要 完备。
第三步：构造极限算子并验证线性与有界。 对每个 ，由 (1) 极限 存在于 ，定义
线性：对 、标量 ，由极限的线性运算（ 中加法与数乘连续）
故 线性。特别地，边界情形 ： 对一切 ，故 ，与线性相容。
有界及范数下半连续：对任意 ，由范数的连续性，
这里：第二个等号用到 时 （范数 是连续函数，因 ），故该数列收敛，其极限等于其 ；末两步用到逐项不等式 取 （单调性 ）以及 为常数时 。从而 有界，且
（这是算子范数关于强收敛的下半连续性）。又显然 ，与 一并构成 (3) 的全部断言。强收敛 即定义本身：。 证毕。∎
设 (3) 成立。则 已直接给出。又对每个 ， 在 中收敛，收敛列必为 Cauchy 列。取稠密子集 （ 在自身中显然稠密），则对每个 ， 为 Cauchy。于是 (2) 成立。
此蕴含为纯粹的逻辑弱化，不依赖任何完备性。 证毕。∎
设 (2) 成立：，且存在稠密 使 对每个 为 Cauchy。
固定任意 ，我们证 为 Cauchy。给定 。
第一步：稠密逼近。 由 在 中稠密，存在 使得
（分母用 而非 ，以兼顾 的边界情形：当 时所有 ，则 平凡 Cauchy；此处统一写法仍合法且避免除零。）
第二步：用一致界控制逼近误差。 对任意 ，由 ，
（末步用 ）同理 。正是此处用到了 ——若无一致界，稠密逼近无法传递。
第三步：用 Cauchy 性控制中间项。 因 ， 为 Cauchy，故存在 ，当 时
第四步：三角不等式合成。 当 时，
故 为 中的 Cauchy 列。
第五步：用 的完备性收尾。 此处援引 为 Banach 空间（完备）： 中每个 Cauchy 列收敛。故 收敛于某 。由 任意，(1) 成立。
注意：这一步且仅这一步用到了 的完备性；本蕴含中完全没有用到 完备（ 论证与稠密逼近只需要 是赋范空间，使"稠密""三角不等式"有意义）。 证毕。∎
至此在 均完备时， 全部成立。
现仅设 为 Banach 空间，而 仅为赋范空间（不必完备）。断言 。
： 完全照搬上面 (1)(3) 的三步证明。逐条核查完备性落点：
故 在 不完备时依旧有效，关键在于极限的存在性是 (1) 免费提供的，而非靠 完备性获得。
： 与 (3)(2)(1) 不同，这里直接走 (3)(1)，无须经由 (2)：(3) 已断言存在 使 对每个 成立，这恰是 (1)（ 收敛，且极限即 ）。此步是逻辑直推，不依赖任何完备性。
易错点提示：此时 一般会失效。因为 (2)(1) 的第五步恰恰用到 完备：在 不完备时，可有 Cauchy 却不收敛，从而 (2) 成立而 (1) 不成立。故"绕过 (2)、直接 (1)(3)"是本小问的要害。∎
现仅设 为 Banach 空间（完备），而 仅为赋范空间（不必完备）。断言 。
注意：两条件 (2)(3) 都内置了假设 ，因此无需再调用一致有界原理——而 UBP 正是唯一用到 完备的地方。这是本小问成立的根本原因：把 当作前提之后， 的完备性便不再被任何一步需要。
： 设 且存在稠密 使 对 Cauchy。
于是 (3) 成立。
： 同 (3)(2)：取 （在自身中稠密），由强收敛 知 收敛、从而 Cauchy，对一切 成立； 由 (3) 直接给出。纯逻辑弱化，不依赖任何完备性。
易错点提示（务必区分两个方向）：在 不完备时， 并不再两两等价——这正是本小问只声明 而不声明涉及 (1) 的等价的原因，切勿误以为可以把 (1) 拉进来。准确分清两类方向：
反例（ 不完备时 ）：取 为只有有限多个非零分量的实数列全体，配 （这是不完备赋范空间），（完备）。令
每个 线性且 ，故 。对任一 ，设其支撑落在 内，则当 时 为常数，故 收敛，(1) 成立。然而 ，故 (2)(3) 中""被破坏，(2)(3) 均不成立。这表明 、，从而 不完备时三者不再两两等价。
口诀重申：" 完备"只服务于由"逐点有界"升级到"一致有界"这一步；一旦 写入前提， 完备性即可丢弃——故 在 不完备时成立，而牵涉 (1) 的等价（需反推一致有界）则不再成立。∎
完备性落点汇总（核验表）
| 蕴含 | 用到 完备？ | 用到 完备？ | 关键步 |
|---|---|---|---|
| 是（UBP/Baire） | 否（极限由 (1) 提供） | 一致有界原理 | |
| 否 | 否 | 取 | |
| 否 | 是（Cauchy收敛） | ||
| 否 | 是（构造极限算子） | + 完备 |
本题的核心机制是把"逐点信息"提升为"整体一致信息"：唯一的"大定理"是【一致有界原理】，它由 的完备性（经 Baire 纲定理）将逐点有界 一举升级为一致有界 ——这是 完备性在全题中的唯一用武之地。一旦把 写进 (2)(3) 的前提，便可丢掉 的完备性，这正是 不完备时 仍成立的原因；但也正因为 不完备时无法再由 (1) 反推一致有界（如 上 的反例所示），涉及 (1) 的等价此时会断裂。另一条主线是 逼近：用一致界 把稠密集上的 Cauchy 性"搬运"到全空间，而把 Cauchy 列变成收敛列则必须靠 的完备性——这是 完备性的唯一用武之地。最大的易错点是混淆两种完备性的分工： 之所以能在 不完备时存活，是因为极限的存在性由条件 (1) 自身免费提供，从而绕开了 完备；而 会在 不完备时崩塌（Cauchy 未必收敛）。记住口诀：" 管一致有界， 管 Cauchy 收敛"，逐条对照每个蕴含到底动用了谁，并分清哪些方向需要"反推一致有界"（因而依赖 完备），便不会出错。
English.
Let . Consider the linear operator given by .
Find the norm, kernel, range, and adjoint of .
中文.
设 。考虑由 给出的线性算子 。
求 的范数、核（零空间）、值域以及伴随算子。
先做一个贯穿全题的换元，并验证 确实是 的有界算子。
核心换元。 在积分 中令 于是对任意 ， 这是后续四个对象计算的统一出发点。
关于 a.e.-类的良定义性。 映射 是 的微分同胚（光滑、严格单调、可逆），故 Lebesgue 零测集的原像仍为零测集；于是 的 a.e.-等价类经拉回 给出唯一确定的 a.e.-等价类， 不依赖代表元的选取。又注意 只用到 在 上的取值。
上界。 当 时 ，故由 ： 第一个不等号用了 （），第二个不等号是把积分区间从 扩大到 、被积函数非负。这同时表明 ，即 良定义且有界，并给出
下界（逼近列）。 为证 ，需让质量集中在 处，那里权重 ，上界中的两处放缩都几乎成为等式。对每个 ，取 则 ，而由 ， （因 ，故比值 ，且对每个 严格 ，因为 ）。于是对每个 有 ，令 得 结合上界得
不可达性。 上确界 不被任何 取到。若 ，则上界推导中两处不等号必须取等：第二处 要求 a.e. 于 ；第一处要求 ，而 a.e. 于 ，故 a.e. 于 。两者合起来即 a.e.，矛盾。故 不可达。
由 ， 在 中即 。由于权重 a.e. 于 ，非负被积函数积分为零当且仅当 a.e. 于 ，即 a.e. 于 。而 在 上的取值对 没有任何约束。故 这是 的一个闭子空间（它等于乘子算子 的核，亦即 经零延拓后的像；单点 为零测，故 与 给出同一 子空间），与 必为闭集（ 有界 连续）这一一般事实一致。特别地 不单射。
对任意 ，用内积定义并施以换元 的同一变量替换 （，）： （这里 为复共轭；实情形直接略去。）把右端写成 的形式，需要 注意权重 与示性函数皆为实值，取共轭后不变，故
良定义性与一致性检验。 确属 ：令 （，，）： 故 ，与一般事实 相容；同样地 （）说明上确界 由集中于 的 逼近达到、且不可取等，与 (1) 的结论彼此印证。
进一步可用 与 做闭式回检：对任意 ， 即 是乘以 的（自伴、非负）乘子算子，，再次确认 ；又 即 是乘以 的乘子算子，其核恰为支于 者，与 (2) 中 完全一致（）。这些恒等式纯由换元代数得出，无需借助数值近似。
当且仅当存在 使 a.e.。给定 ，由 是 的双射可逆变换，必然 a.e. 于 （而 在 上可任意取，例如取 ）。于是“能否找到这样的 ”等价于其在 上的那一段平方可积。用 换元： 因此 即带权 平方可积的那些 元素。
值域既稠又非闭、 非满。
这与一般理论一致： 等价于 。验证之： a.e. 于 a.e. 于 ，故 ，确证值域稠密。
整道题的引擎是单一换元 ：它把“代入 ”这个看似古怪的复合算子，翻译成区间 上带权 的加权 嵌入，于是范数、核、伴随、值域全部由这一个公式 顺势读出。范数处的关键是认清权 给出上界 ，而把质量挤到 让权趋于 即得下界——这是“范数等于上确界但不可达”的典型构造，易错点在于误以为某个具体 能取到 （取等会逼出 ）。伴随的计算要稳住共轭与实值权（、示性函数取共轭不变），并务必用 、 或 做回检：本解算出 为乘以 、 为乘以 ，两者范数皆为 、且 ，自洽性一目了然。值域题最容易踩的坑是只答“稠密”却漏掉“非闭、非满”：这里 是带权空间 ，靠 判稠密、靠一个具体反例（如 ）证不满，二者缺一不可。
English.
Let be a real normed space satisfying the parallelogram law for all .
Define .
Show (1) is symmetric;
(2) ;
(3) for all .
(Hint: prove (3) first for , then , then .)
中文.
设 是一个实赋范空间，且对所有 满足平行四边形律 。
定义 。
证明：(1) 是对称的；
(2) （关于第一变量可加）；
(3) 对所有 ，有 （关于第一变量齐次）。
（提示：先对 证明 (3)，再推广到 ，最后用稠密性与连续性推广到 。）
本题即著名的 Jordan–von Neumann 极化恒等式定理：若实赋范空间的范数满足平行四边形律，则由极化公式 定义的 是一个内积，且 。我们逐条验证 是对称双线性的（正定性 由定义直接可见，本题未要求，故仅在结语中点到）。
为后文方便，先记录两个由范数性质直接得到的初等事实。
事实 A（零点值）. 取 ： 其中用到了范数的正齐次性 。故 对一切 成立。
事实 B（范数的对称性）. 对任意 ，由正齐次性 ，故 。这一点看似显然，但下面 (1) 正是由它支撑，故单列。
由定义， 范数中的向量加法满足交换律 ，而由事实 B，。因此每一项与 的对应项逐项相等： 注意此处不需要平行四边形律，仅用范数的基本性质。∎
这是本题的核心，分三步。
第一步：建立基本极化恒等式 。
先把两项 与 按定义展开并相加： 我们对正、负两组分别施用平行四边形律。
对 ，把它视作以 、 的平行四边形律： 即 注意 而 ，故
同理，对 ，取 、，则 ，，得
将 (I) 减去 (II)，公共项 相消，代回 ： 另一方面，对任意 ，由定义 取 ，故 的右端 。于是
恒等式 (III) 对一切 成立，是后续的总枢纽。
第二步：第二变量倍乘恒等式 ，以及辅助恒等式 。
在 (III) 中令 ，并利用事实 A ： 公式 (V) 表明：第二变量乘以 等价于整体乘以 。它将在第三步直接收口可加性，是本步唯一必需的产物。
为与提示中的""形式衔接，再附带导出一个对称的辅助恒等式。由于 (III) 对一切向量成立，特取 （合法代入，不需要事实 A 或对称性），得 把 (V)（对向量 使用）代入 (IV) 右端的 ，得 即 这是"自变量取 等于 倍取值"的恒等式。需强调：(VI) 仅为复原提示形式所用的辅助结论；下面第三步对可加性的证明只动用 (III) 与 (V)，并不依赖 (VI)。
第三步：合成可加性。
回到 (III)：。由第二变量倍乘公式 (V)，，代入得 （与提示形式的对照：由 (III) 与 (V) 已得 ；又由 (VI) 可反向写 ，故 ，二者一致。）∎
按提示，由整数、有理数、实数逐级推进。下面固定 ，记 ，并记 。目标是 。
第一步：（对自然数归纳）。
显然 。设 已对某 成立。由 (2) 的可加性（取被加项为 与 ）： 由数学归纳法， 对一切 成立。又由事实 A，，边界情形 单独验证通过。
第二步：（处理负号）。
先证奇对称性 。由定义并利用事实 B（，）： 故 。对负整数 （），由 (VII) 与第一步： 因此 对一切 成立。
第三步：（约分技巧）。
设 ，，。注意第一步的整数齐次性对任意向量都成立，故对向量 有 取 ，则 ，于是 最后一步用第二步（整数 ）。两边除以 （合法，）： 故 对一切 成立。
第四步：（连续性 + 稠密）。
关键观察： 作为 的函数是连续的。理由如下——映射 是从 到 的连续映射（因 ，正齐次性），而范数 是连续的（由三角不等式得 ，故范数 -Lipschitz），从而 连续，作为它们的线性组合， 关于 连续。
现取任意 。由 在 中稠密，存在有理数列 。由第三步 。对两边取极限，左边因 连续趋于 ，右边趋于 ： ∎
结语（综合）. 由 (1) 对称性、(2) 可加性与 (3) 实齐次性， 关于第一变量线性，再结合对称性 (1) 知 关于第二变量亦线性，故 是 上的对称双线性型；又 ，且由范数的正定性公理 得 ，故 是 上的内积且诱导原范数。这正是 Jordan–von Neumann 定理的内容。
核心机制是极化恒等式：内积可由范数完全恢复，而平行四边形律恰是"范数来自某内积"的充要刻画，本题做的是充分性方向。对称性 (1) 只是范数 的直接推论，不动用平行四边形律；真正吃力的是可加性 (2)——诀窍是把 与 成对地用平行四边形律展开，让公共的 项相消，凝练出枢纽恒等式 （即 (III)），再配合"第二变量倍乘"恒等式 （即 (V)，其本身仅依赖零点值 ）一步收口。需留意 (VI)（即 ）只是为复原提示中的 形式而附带导出的辅助恒等式，可加性结论本身并不需要它。齐次性 (3) 是典型的" 逐层加密"套路：代数恒等只能给出可数稠密集上的齐次性，跨越到全体实数必须借助范数连续性把有理逼近传过去——这一步若漏掉连续性论证，结论对不可数的无理标量就无从保证（事实上仅用加性无法排除病态非连续解，正是连续性封死了这个缺口）。易错点有三：忘记单独处理 、 等边界；在 (2) 中漏掉 这一支撑倍乘恒等式 (V) 的零点值；以及第四步把"稠密"误当成"自动推出连续"。
English.
Let and . Consider the multiplication operator , .
Show that is an eigenvalue of if and only if there is a set of nonzero Lebesgue measure such that for all .
中文.
设 ，。考虑乘法算子 ，。
证明： 是 的特征值，当且仅当存在一个 Lebesgue 测度非零的集合 ，使得 对所有 成立。
预备观察（算子的良定性）. 对任意 ，由 知 故 ，且 是有界线性算子，。这保证下文中""恒有意义。
回忆特征值的定义：称 为 的特征值，若存在 且 （指 作为 的元素非零，即 在某正测度集上取非零值）使得 。这里"特征向量 且非零"是关键，必须严格区别于谱 或近似点谱（后两者由 的本质值域 essential range 刻画，未必要求存在真正属于 的特征向量）。
下面把方程 写开：它等价于 全部论证围绕 展开。
设存在可测集 ，，且 对所有 成立。（特别地这蕴含 在 上 a.e. 成立；下文只用到这一更弱的 a.e. 形式，故结论对" 仅 a.e. 于 "的更一般情形同样有效。）我们需构造一个真正属于 的非零特征向量。
关键技术点：截断到有限测度. 注意 可能为 ，此时 （因 ），不能直接取 。但 配 Lebesgue 测度是 -有限的：，其中 是闭球，。于是 由测度关于递增集列的下连续性（连续性自下），存在某个 使 。记 这就显式取出了满足 且 的可测子集（这一步用到的正是 的 -有限性，必须点明落点）。
令 ，即 的指示函数。则：
由特征值定义， 是 的特征值。（充分性）
设 是特征值，则存在 ，（于 ），使 ，即 成立：
第一步：定位 的非零集. 令 可测（ 可测）。因 作为 元素，故必有 理由（不跳步）：若 ，则 a.e.，从而 ， 即 的零元，与 矛盾。故 成立。
第二步：在 上消去 . 由 ，存在零测集 （）使得对一切 有 。取 ：此时 ，于是在 （无零因子的域）中，由 且 必有 ，其中 ；故 这里用到"复数域无零因子"这一代数事实，正是"逐点消去"的依据，非"显然"，须明写。注意此结论对 中每一个点成立（已显式扣除 ），而非仅 a.e.。
第三步：得到正测度水平集. 令 则 可测。由 得 （去掉零测集 不改变测度；此等式即使在 时亦成立）。同时第二步表明 对所有 成立。因此 满足 且 于 ，恰为所求。（必要性）
综合 (1)(2)：
附注（点谱 vs. 谱）. 上述刻画说明 的点谱为 即 的所有正测度水平集对应的值。（该集合在 等价类意义下良定：若 a.e.，则 与 相差一零测集，正测度性不变。）它一般是 （本质值域）的真子集：例如 、 时 单射，所有水平集为单点（零测度），故 ；但 非空——内部点显然属本质值域，两端点 亦属之，因为 （）使得对任意 ，集合 具无限（正）测度。
核心机制是把抽象的特征方程 翻译成逐点等式 a.e.，于是" 是特征值"被几何化为" 取值 的集合够大（正测度）"。两个方向都靠这条等式：充分性是造特征向量（在水平集上放指示函数），必要性是读特征向量的支集（ 非零处强迫 ）。本题不需要 Hahn–Banach、开映射等"三大定理"，真正用到的是测度论事实——-有限性（保证能截出 的子集，使 ）与"复数无零因子下的几乎处处消去"。最常见的两个易错点：一是误取 而忽视 时它不属于 （须截断）；二是混淆点谱与谱——单点水平集（零测度）不产生特征值，但其值仍可落在本质值域里成为连续谱，这正是乘法算子谱理论的精髓所在。
English.
For each case below determine (1) the orthogonal complement of in , (2) whether is dense in , (3) whether is closed in (real spaces):
(a) , ;
(b) , .
中文.
对下列每种情形，确定（1） 在 中的正交补，（2） 是否在 中稠密，（3） 是否在 中闭（均为实空间）：
(a) ，；
(b) ，（即所有偶数下标分量为零）。
预备说明。 本题均在实 Hilbert 空间中进行。我们反复使用以下三条基本事实：
（正交补的闭性） 在任何内积空间中，对任意子集 ，其正交补 总是 的闭线性子空间。理由：，而每个 是连续线性泛函（由 Cauchy–Schwarz：），其核为闭超平面，闭集之交仍为闭集。
（投影定理 / 正交分解） 若 为 Hilbert 空间， 为 的闭子空间，则 ，且 。一般地，对任意子空间 有 。此处用到 的完备性（投影定理的成立离不开完备性）。
（稠密性判据） 子空间 在 Hilbert 空间中稠密 。证：若 稠密则 ，由 （这里 因为与全空间正交的向量必与自身正交，故其范数为 ）；反之若 ，则 。
第一步：把 写成一个有界线性泛函的核。
记常值函数 。在有限测度区间 上 ，因为 定义泛函 由 Cauchy–Schwarz，，故 是 上的有界线性泛函（且 ，由 Riesz 表示定理，因为表示元恰为 ，且取 时不等式取等）。于是 这里 ，因为与 正交当且仅当与其所有数乘正交。
第二步：求 。
记 （一维子空间，即全体常值函数）。一维子空间必闭（有限维子空间在赋范空间中总是闭的：它与 线性同胚，而 完备），故 。由 及一般恒等式 ： 即
第三步：闭性。 是连续泛函 的核，而 在 中闭、 连续，故 为闭集；或直接由 是正交补而闭。无论哪种推理都给出
第四步：稠密性。 由稠密性判据， 稠密 。但 （因 ，其在 中非零，）。故 等价地：，例如常值函数 （因 ）。
正交分解的验证。 由投影定理（ 闭， 完备）：。具体地，任给 ，令 而 因 ；且 。分解唯一。∎
澄清记号。 条件 “ 对每个 ” 指偶数下标分量全为零：。故 中元素仅允许奇数下标 非零。
设标准正交基 ，（第 位为 ）。则
第一步： 闭。 每个坐标泛函 连续（），故 闭； 为可数个闭超平面之交： 是闭集之交，因而 （亦可直接说： 是子集 的正交补，正交补总闭。）
第二步：求 。 记 ，。由 ，再由 （ 已是闭包）： 下面把这个闭包写成显式集合。断言 - （）： 是闭子空间（同第一步理由，它是诸 之交），且每个 ；闭子空间包含其生成元张成空间的闭包，故 。 - （）： 任取 ，则 （奇数项系数为 ）。部分和 ，且 （因 ，收敛级数的尾项趋零）。故 ，即 。
于是
第三步：稠密性。 （例如 ，），由稠密判据 具体地 （其偶数下标分量 ），且 与整个 正交，故 不能被 中元素逼近：对任意 有 （勾股关系，因 ），逼近距离恒不小于 。
正交分解的验证。 闭、 完备，投影定理给出 。直接地，对任意 ，定义 则 ，二者下标支撑不相交故 ，且 （两范数均有限）。分解唯一。∎
小结表。
| 稠密? | 闭? | ||
|---|---|---|---|
| (a) | （全体常值函数，维数 ） | 否 | 是（闭超平面，余维 ） |
| (b) | （无穷维） | 否 | 是 |
核心机制是同一句话：“一族正交约束所定义的子空间，其正交补就是这些约束元张成的（闭）子空间”——把 识别为某集合的正交补 ，则立刻 闭，且 。
(a) 中只有一个约束 ，它是有界泛函（关键在于有限区间上 ，否则 未必有界，这正是 与 的差别——常见易错点），故 是余维 的闭超平面， 一维。
(b) 是可数个坐标约束， 是无穷维但仍闭。需要投影定理之处必须强调 Hilbert 空间的完备性：唯有完备才能保证 与 。
最易错的两点：一是把 “” 误读为奇数下标为零；二是写 时忘记取闭包——在 (b) 中 本身（有限支撑序列）并不完整，必须补上极限点才得到正确的无穷维闭子空间。
English.
Let be the disc centred at of radius in , . The Bergman space is , with the inner product/norm.
(1) Show that for each and ,
(2) Show that if is Cauchy in -norm, then it converges uniformly on compact subsets of .
(3) Hence prove there is a bounded linear operator such that for each , is the unique point of with .
中文.
设 为 中以 为心、 为半径的开圆盘，记 。Bergman 空间定义为 ，赋以 的内积与范数。
(1) 证明：对每个满足 的情形及每个 ，有
(2) 证明：若 在 范数下为 Cauchy 列，则它在 的每个紧子集上一致收敛。
(3) 据此证明：存在有界线性算子 ，使得对每个 ， 是 中唯一满足 的点。
约定：本题中 的内积取为 ，其中 为平面 Lebesgue 测度（面积测度）；范数 。下文记 。
第〇步：几何相容前提（务必先核对）。 公式右端的内积 只在 时才等于 ，而面积平均值公式更要求 在含 的开集上全纯，即需 注意：仅凭" 且 "并不能推出 ——因为它只给出 ，而 等价于 ，并不被 蕴含（例如 时 越界）。使公式良定的正确充分几何条件是 此时对每个 （即 严格）必有 故 。下文即在前提 （亦即 ）下证明公式；这一前提对 、 时自动满足，也正是 (2) 中实际使用的情形。
第一步：圆周平均值性质（mean value property）。 有了 ， 在某个包含 的开集上全纯。对任意 ，圆周 （）连同其闭圆盘均落在该开集内，故由 Cauchy 积分公式（或调和函数的平均值性质）得圆周平均值性质 此式左端 与 无关，对一切 严格成立。
第二步：对半径积分得面积平均值性质。 将上式两端乘以 并对 积分。左端： 右端用极坐标 （映射 ，， 恰参数化 ）： （被积函数 在紧集 上连续故有界可积，Tonelli/Fubini 适用，累次积分可化为二重积分。）两端相等： 此即面积平均值性质。
第三步：写成 内积。 因 ，示性函数 于 、 于 。它实值，故 ，于是 代回第二步结果（）： ∎
第一步：紧集上的逐点控制（再生核估计）。 设 紧，记 （紧集 与闭集 不交，故距离为正）。固定 使 满足 。则对每个 ，由 得 ，即 ——这恰是 (1) 的几何前提，对一切 一致成立。于是对任意 与 ，由 (1) 及 Cauchy–Schwarz 不等式： 又 代入得 常数 与 无关（只依赖 ，从而依赖 ）。取上确界：
第二步：一致 Cauchy 与一致收敛。 该估计对 中元素线性，而 是线性空间（全纯函数之差仍全纯且仍属 ），故可作用于差 ： 由 在 中 Cauchy，右端当 时 ，故 在 上对上确界范数为 Cauchy，即在 上一致 Cauchy。由于 完备， 在 上一致收敛到某连续函数 。 为任意紧子集，且不同紧集上的极限在交叠处一致（公共点处极限唯一），故诸 拼成 上一个确定函数 ，且 在 的每个紧子集上一致收敛到 。
第三步（附带结论，供 (3) 用）：极限全纯且即 极限，故 闭。 内闭一致收敛的全纯函数列，其极限全纯——此即 Weierstrass 收敛定理（可由 Morera 定理或对 Cauchy 积分公式取极限证得）。故 在 内全纯。另一方面 完备，Cauchy 列 有 极限 ； 收敛蕴含存在子列 几乎处处，而 处处（内闭一致收敛 逐点收敛），故 几乎处处，从而 且 。于是 ，并得 ∎
由 (2) 第三步， 是 Hilbert 空间 的闭线性子空间（线性显然：全纯函数的线性组合全纯， 子空间封闭于加法与数乘；闭性已证）。
存在与唯一（最佳逼近 / 投影定理）。 对 Hilbert 空间的闭凸子集（闭子空间尤为闭凸），最佳逼近定理（Hilbert 投影定理）断言：对每个 ，存在唯一的 使得 该定理所需两条前提均已落实：① 完备（Hilbert 空间），保证极小化序列借平行四边形恒等式所得的 Cauchy 性可收敛；② 闭（由 (2)）且凸，保证极限仍落在 内。唯一性可由平行四边形恒等式直接给出：若 均达到下确界 ，对 应用 ，整理得 因 （凸性），左端 ，故 ，即 。
线性。 此最佳逼近 即正交投影算子 ：投影定理同时给出正交分解 ，其中 ，。设 ，，则 第一括号 （子空间封闭），第二括号 （正交补为子空间且封闭）。由正交分解的唯一性（，因 闭）， 即 线性。
有界且 。 由正交性 及 Pythagoras 定理： 故 ， 有界且 。又 （例如常函数 ，），对任意 有 （ 到 的距离为 ，最近点即自身），故 ，得 。综合： ∎
核心机制是 Bergman 再生核：全纯函数在一点的值可由其在邻域圆盘上的面积平均（即与一个示性函数的 内积）线性恢复——这是 (1)；它把"逐点求值"变成了 上的有界线性泛函。(2) 是 (1) 的直接红利：Cauchy–Schwarz 把逐点值控制成 ，于是 收敛自动升级为内闭一致收敛，进而（Weierstrass）极限仍全纯、且与 极限一致，这恰好证出 在 中闭。(3) 则是泛函分析的标准收尾：闭子空间 Hilbert 空间 投影定理给出唯一最佳逼近，它就是正交投影，自然线性且范数为 。
三处易错点尤须警惕：
(1) 的几何相容是平均值公式的真正前提，且不能想当然。 要的是 ，等价于 。仅有 与 推不出它（那只给 ，而 需要 ，并非 ）；保证良定的正确充分条件是 （即 ），此时 严格便逼出 。书写时应直接以 为前提证明，再特化半径 ，切忌把越界的包含关系当成显然。
内积含共轭。 ，唯有 实值才能略去共轭而得 。
(3) 中"闭"这一前提不可省。 若 不闭，极小化序列的极限可能逃出空间，存在性与唯一性都会失效；正是 (2) 第三步证得的闭性，才使投影定理可用。
English.
(Fun Question) Let and be Banach spaces.
Assume is isomorphic to , is isomorphic to , is isomorphic to a complemented subspace of , and is isomorphic to a complemented subspace of .
Then is isomorphic to . (Pełczyński decomposition method.)
Remark: the general Schröder–Bernstein problem is false — Gowers constructed a counterexample.
中文.
（趣味题）设 与 为 Banach 空间。
假设 同构于 ， 同构于 ， 同构于 的某个有补子空间，且 同构于 的某个有补子空间。
则 同构于 。（Pełczyński 分解法。）
注记：一般的 Schröder–Bernstein 问题为假——Gowers 构造了反例。
把两条互补假设互相代入：
记 ，则得
人们很想由 直接"两边消去 "得到 ，进而推进证明——但 Banach 空间的直和不满足消去律： 绝不蕴含 （最简单的例子 ： 而 ）。因此 本身不能消去 。
同理，仅靠有限的倍化 ，迭代只能给出对任意
这对有限 成立，但要"一次性吞掉无穷多个 "，有限倍化不够。真正起作用的，是把倍化加强为可数直和意义下的自吸收，这一点下面单列。
设 为 Banach 空间。固定一种定型的可数直和记号 （ 取 型，或 取 型），即
它是 Banach 空间：序列 落在 （）或 （）中，相应范数的完备性与 的完备性复合即得 完备——此处用到 是 Banach 空间（完备性），这是定型直和良定的落点。记 。
它有两条来自下标集重排的结构同构，均为保范同构：因为相应的范数只依赖逐坐标的 经 （或 ）外范数合成，而坐标的置换、移位、按"分块"重新打包都不改变这串数的多重集，从而不改变外范数。
(A) 移位自吸收。
证明。 映射 是双射线性算子；对 有 ，对 有 ，故两侧范数（在 取等价范数 或 合成）相等，得保范同构。
(B) 打包/拆分。 对任意 Banach 空间 ，
证明。 映射 把"逐坐标的 序列"分流为" 序列"与" 序列"，是双射线性算子；逐坐标范数 （取 等价范数）经外 / 范数合成的结果，与把 分量、 分量分别合成后再取 一致（最多至一个固定常数的等价范数），故为同构。
由 (B) 立得一个反复要用的推论：
即" 能吸收（可数个）"。这正是把有限倍化放大为无穷吸收的机关。
我们要证 。沿用 ，，。
第一步：把"自倍同构"理解为可数定型直和的自吸收。 标准 Pełczyński 表述把题面的"自倍同构"取为下述强形式（这正是" 配合定型直和"的精确含义）：
诚实说明（ 的来历与边界）。 性质 严格强于有限倍化 （由 (A) 知 ，反之一般不成立）。在经典具体空间中 自动成立（如 有 ； 同理； 取 ）。在抽象表述里，Pełczyński 定理正是以 （" 是其自身的定型可数直和"）作为自倍同构的强形式作为前提。仅由 一般推不出 ，这正是为什么有限倍化不足以消去 。本题"自倍同构"应按 理解，下面的链条在此前提下严格成立。
第二步（ 端长出 ）。 由 有 。于是用 、（对 ）与 回代：
（第二步合法性：因 ，由 (B) 得 。）
第三步（ 端长出同一个 ）。 对偶地，由 ，即 。故同理
第四步（Eilenberg 摆动：把 改写成 ）。 这是核心的"对接"。由 (B) 把 拆开，再用 (A) 与假设 把一个 与 合并成 ：
第五步（结论）。 串联 、、：
每一步均为拓扑同构的复合，故复合仍是拓扑同构（有界算子之复合有界，逆之复合有界）。因此
Remark（中）. 一般的 Schröder–Bernstein 问题——"若 与 互为对方的有补子空间，是否必有 "——为假。W. T. Gowers（1996，配合 Gowers–Maurey 的遗传不可分空间技术）构造了 Banach 空间反例：两个空间互相是对方的有补子空间却不同构。本题之所以成立，完全依赖于额外加上的自倍同构 、（强形式为定型可数直和自吸收 ）。正是这组"互补 + 自倍"的加强假设，使 Eilenberg 摆动得以把多余的 全部吞并；去掉自倍假设，吞并无从进行，定理即告失效。
核心机制是 Eilenberg 摆动（swindle）：互补假设把 与 互相缠绕成 、（），但直和没有消去律，不能就地把 抹掉；解法是借可数直和把无穷多个 一次性"吞"进 ，再利用 这只"希尔伯特旅馆"的两条平凡结构同构 (A)(B)，把 端与 端的尾巴对接抹平，最终 。
需要大定理吗？不需要开映射/闭图像那类工具，真正的"引擎"是自倍同构的可数加强形式 ：完备性只保证 良定，而吞并无穷个 全靠 。两条结构同构里，(A) 是"剥一个坐标"，(B) 是"按分量分流"，都只是坐标的重排，故是保范的——这一点务必想清，否则会误以为需要什么深刻定理。
等价的更短收尾（路线非唯一）。 上面的 是一条直接而对称的链。若先证两条"吸收引理"再收口，会更紧凑：由 与坐标重排可证
代回 、 即得
两式右端相同，故 。这与正文链条逻辑等价，只是把"吸收"集中到一步。
最大的易错点有两个：一是误以为 能消去 （错，反例 ）；二是误以为有限的 就够（只给有限个 的吸收 ）。把这两点想透，再记住 Gowers 反例说明"光有互补不够"，本题的全部精髓就到手了。
English.
Prove that every nonempty, convex and closed set in a reflexive Banach space contains an element of smallest norm.
(Remark on terms.). Here "closed" means norm-closed, and "smallest norm" means an element with . We argue over the real scalar field; the complex case is identical after replacing each functional by its real part .
(Hint.). Use that the closed unit ball of a reflexive space is weakly (sequentially) compact, that convex norm-closed sets are weakly closed, and that the norm is weakly lower semicontinuous.
中文.
证明：自反 Banach 空间中每个非空、凸且（强）闭的集合都含有一个范数最小的元素。
(术语说明). 此处"闭"指依范数（强）闭；"范数最小"指存在 使 ，即下确界被取到。下文以实标量域陈述（涉及分离与保范表示之处更简洁）；复 Banach 空间的情形完全平行，只需把出现的泛函 换成其实部 即可，结论不变。
(提示). 利用：自反空间的闭单位球弱（列）紧；凸且强闭集是弱闭的；范数关于弱拓扑下半连续。
设 为自反 Banach 空间， 非空、凸、（强）闭。记 由于 且 对一切 成立，故下确界 存在且满足 （取任一 即得 ）。我们要证明该下确界被某个 中元素取到，即存在 使 。
先观察一个平凡情形，它无需自反性即可直接收尾。
之所以先点出此情形，是因为当 时极小化序列已强收敛，仅用强闭性即可，连自反性也用不到。不过下面对一般 给出的弱收敛论证统一覆盖全部情形（包含 ），故读者也可径直从 (2) 起读。
由下确界的定义，对每个 （），存在 使 于是 ，称 为极小化序列。由 （对一切 ）知 是 中的有界序列。这一步只用到下确界定义，无"显然"可言。
引用 Kakutani 定理，并配合 Eberlein–Šmulian 定理：
Banach 空间 自反，当且仅当其闭单位球 关于弱拓扑紧（Kakutani）；并且在 Banach 空间中弱紧与弱列紧等价（Eberlein–Šmulian），故 弱列紧。
前提核验：本题假设 自反，故 弱列紧；又乘以正常数 是弱拓扑下的同胚，故任一闭球 （）也弱列紧。取 ，则 。由弱列紧性，存在子列 与某 使 此处务必点明落点：正是 的自反性保证了有界序列具有弱收敛子列；在一般（非自反）Banach 空间中有界序列未必能抽出弱收敛子列，故自反性不可省。
引用 Mazur 定理：
赋范空间中，凸集是强闭的当且仅当它是弱闭的。
（其中"弱闭 强闭"对任意集合恒成立，因弱拓扑比范数拓扑粗；非平凡的方向"凸 强闭 弱闭"才用到凸性。）
前提核验： 凸且强闭，故由 Mazur 定理 弱闭。给出该结论的一行理由以免跳步：弱闭由 Hahn–Banach 分离定理得到——若 ，由（点与非空闭凸集的）严格分离，存在 与 使 （特别地 ）。则 含 、是弱开集（因 弱连续），且与 不交（）。故 弱开，即 弱闭。
而弱闭集对弱收敛序列封闭：若 ，存在 的弱开邻域与 不交，但 意味着 终将落入该邻域，与 矛盾。由 (3) 知 且 ，故
断言：范数 关于弱拓扑下半连续（weakly lower semicontinuous, w-lsc）。
理由（不跳步）：由 Hahn–Banach 定理的标准推论，对任意 有保范表示 （事实上对 ，由 Hahn–Banach 存在 ，，，给出 ；而对任意 有 ，给出 。 时两端皆为 。复标量域时把 改为 ，等式与下述论证不变。）对固定的 ，映射 按弱拓扑的定义是弱连续的；而一族弱连续函数（从而 w-lsc 函数）的逐点上确界仍 w-lsc——其下水平集 是弱闭集之交，仍弱闭，故上确界函数 w-lsc。于是 是 w-lsc。
应用 w-lsc 于子列 （w-lsc 的序列刻画）： 又因 是极小化序列的子列，，从而 。故 另一方面，由 (4) 知 ，依 为下确界即得 。两不等式合并：
综上，存在 使 ，即 含有范数最小的元素。证毕。
附注（唯一性的边界讨论）. 本题只断言"存在"，未断言"唯一"。一般自反空间中最小范数元未必唯一：例如 配 范数（有限维，故自反）， 非空、凸、闭，其中每点的范数皆为 ，故下确界 在 上处处取到，最小范数元非唯一。当 严格凸（strictly convex，如 Hilbert 空间或 ，）时，最小范数元唯一：设 且 。若 则 ，已矛盾；若 ，由凸性 ，而严格凸性给出 ，与 矛盾。此附注说明定理结论的"边界"恰到何处为止。
核心机制是经典的"极小化序列 紧性 半连续性"三段式：先用下确界定义造出一列范数趋于 的点，它自动有界；再用紧性把"无限序列"压成一个真正存在的极限点；最后用目标泛函（这里是范数）的半连续性确认该极限点的范数不超过 。三条大定理各司其职——自反性（Kakutani / Eberlein–Šmulian） 提供了把有界序列抽出弱收敛子列的紧性，这是全证明的发动机，没有它有界序列可能"无处收敛"；Mazur 定理（实为 Hahn–Banach 分离）保证弱极限不会"逃出" ，凸性在此不可或缺，仅强闭不足以推弱闭；Hahn–Banach 保范表示则把范数写成一族弱连续线性泛函的上确界，从而免费得到弱下半连续。
最常见的错误有三：误以为有界序列直接强收敛（一般不真，故必须走"弱"收敛）；忘记验证弱极限仍在 内（漏掉凸性 / Mazur）；以及把半连续方向用反——弱收敛下只有 （"范数只会塌缩、不会突然变大"），绝不能写成等号或反向。最后提醒一处常被忽略的细节：保范表示 与点–集分离里的 都默认了实标量域；在复 Banach 空间中应把 换成 ，证明逐字平行、结论不变。
English.
Prove that a Banach space is reflexive if and only if its dual is reflexive.
Let denote the canonical embedding for ; likewise with for . By definition is reflexive iff is surjective (onto ).
中文.
证明：一个 Banach 空间 是自反的，当且仅当它的对偶空间 是自反的。
设 为典范嵌入，定义为 （）；同理 ，（）。按定义， 自反当且仅当 满（映满整个 ）。
预备事实（典范嵌入是等距）。 对任意 ，由定义 一方面 ，故 。另一方面，由 Hahn–Banach 保范延拓定理（推论：对每个非零 存在 ， 且 ；当 时 自动成立），取该 得 。两端合并得 即 是等距嵌入。同理 也是等距嵌入。等距映射必为单射且保持范数，下文反复使用。∎（预备事实证毕）
注意 自反这一性质只依赖于 是否为该具体典范映射的满射，而非" 与 是否抽象同构"——这是本题不能用抽象同构偷懒的根本原因，后文 (⟸) 正是利用 的具体定义式才完成。
设 自反，即 为满射（结合预备事实， 是等距双射，从而是拓扑同构）。要证 自反，即证 为满射。
构造原像。 任取 。由于 ，复合 是有界线性泛函（ 或 ）：线性性来自 与 均线性；有界性由 给出（最后一步用了预备事实的等距性）。故 且 。
验证 。 需证两者在整个 上取值相同。任取 。这里用到 的自反性： 满，故存在（唯一的） 使 。于是逐步代入定义： 由于 任意，得 。
结论。 对任意 均找到原像 ，故 ∎
说明（落点）： 本方向只需 自反（ 满），不必显式调用 的完备性——它已隐含在" 是 Banach 空间且 满"之中。关键的可逆性恰来自满射假设：每个 都能写成 。
设 自反，即 为满射。用反证法。
反设。 假设 不自反，即 为真子集。
第一步： 是 的闭子空间（务必证）。 这是本方向的关键技术点，必须用到 的完备性。 - 线性，故 是 的线性子空间。 - 由预备事实， 是等距嵌入。 作为 Banach 空间是完备的；等距映射把 Cauchy 序列对应到 Cauchy 序列，把收敛序列对应到收敛序列，从而把完备集映成完备集。具体地：设 在 中收敛于某 。收敛列是 Cauchy 列，故 （），即 在 中 Cauchy。由 完备， 于 ，于是 （ 等距故连续）。极限唯一给出 。 - 因此 在 中是闭的。
故 是 的真闭子空间（真：由反设；闭：第一步）。
第二步：用 Hahn–Banach 造一个非零的 湮灭 。 取一点 。由于 是闭子空间，记 （若 ，则 是 的极限点，由闭性 ，与取法矛盾，故确有 ）。由 Hahn–Banach 延拓定理的标准推论（闭子空间外一点的湮灭/支撑泛函），存在 满足 特别地 （因 ）。
此即标准结论：对闭子空间 与外点 （），先在 上定义 ，由 知其在此子空间上范数 且确取到 ，再用 Hahn–Banach 保范延拓到整个 。其存在性正是 Hahn–Banach 延拓定理的推论；这里 只是归一化，论证真正需要的仅是 且 在 上为零。
第三步：用 的自反性把 表示出来，导出矛盾。 由 自反， 满，故存在 使 将 在 上为零这一性质代入：对一切 ，取 ， 即 对一切 成立，故 （零泛函）。从而 （因 线性把 映到 ）。这与第二步的 矛盾。
结论。 反设不成立，故 ，即 ∎
综合 (1)(2)。 自反 自反。
边界与前提核查（不可略）： - ：预备事实中 单独成立，等距结论不留漏洞。 - 情形：在 (1) 中若取 ，则 且 ，构造仍成立，无需排除。 - 完备性落点：仅 (2) 第一步用到（保证等距像 闭）；这是反证法成立的命脉，缺它无法断言 闭，从而无法用 Hahn–Banach 造湮灭泛函。 - 所用 Hahn–Banach 形式：(2) 第二步用的是延拓定理的"闭子空间外点湮灭泛函"推论（而非凸集的几何分离定理），其核心要件是 且 。 - 自反性的使用方向：(1) 用 自反（ 满）以解出 ；(2) 用 自反（ 满）以把 写成 。两处方向相反，不可混淆。
核心机制是把"自反"严格理解为具体的典范映射 是满射，而非空间间的抽象同构（James 空间的著名反例说明： 与 等距同构却不自反，故抽象同构绝不能代替 满）。正向把任意 沿 拉回得到 ，再借 自反"每个 都是某 "逐项核对，是纯粹的代数代入，干净利落。反向是全题难点，需要两件大定理协同：先用 的完备性保证等距像 在 中闭（这一步最易被跳过，却是构造湮灭泛函的前提），再用 Hahn–Banach 延拓定理的推论在闭真子空间外造一个非零湮灭泛函 ，最后用 自反把 落回 中某个 并逼出 的矛盾。易错点有三：误把自反当抽象同构、忘记证 闭、以及把两个方向各自该用的自反性（ 满 vs 满）张冠李戴。
English.
(1) Prove that if is an infinite-dimensional Banach space, then admits a discontinuous linear functional.
(2) Let be a Banach space and a linear functional. Prove is bounded if and only if is closed; also show that if is not bounded then is dense.
(3) Deduce: for any infinite-dimensional Banach space , there exist convex sets with , , and both dense in .
中文.
(1) 证明：若 是无穷维 Banach 空间，则 上存在一个不连续的线性泛函。
(2) 设 是 Banach 空间， 是线性泛函。证明： 有界当且仅当 是闭集；并证明：若 无界，则 在 中稠密。
(3) 推出：对任意无穷维 Banach 空间 ，存在凸集 ，满足 、，且 在 中均稠密。
第一步：取 Hamel 基。 回忆：向量空间 的 Hamel 基 是一个线性无关子集 ，使得每个 都能唯一地写成 中有限多个元素的线性组合。Hamel 基的存在性依赖 Zorn 引理（等价于选择公理）：考虑 中所有线性无关子集按包含关系构成的偏序集，任一链的并仍是线性无关集（线性相关只涉及有限多个向量，故必落在链中某一元素内），从而每条链有上界；由 Zorn 引理存在极大线性无关集 。极大性保证 （否则可加入一个不在张成中的向量，与极大性矛盾），故 是 Hamel 基。这里必须强调：Hamel 基的存在依赖选择公理，这是后续构造无界泛函的关键，也是它"不可显式写出"的根源。
第二步：从无穷维抽出可数无关序列并归一化。 因 无穷维， 是无限集合，故可在 中取出可数无穷个互异元素 。令 （每个 ，故 ，分母合法）。则 仍线性无关且 。
注意把每个 替换为同方向的非零标量倍 后，所得集合 仍是 的一个 Hamel 基：其中 是 去掉所选可数部分后剩下的基向量。事实上， 与 张成同一子空间（每个 是 的标量倍，反之亦然），故 ；又 线性无关（用非零标量逐个替换无关集中的向量不改变线性无关性），故 是 Hamel 基。
第三步：定义泛函并线性延拓。 在 Hamel 基 上指定取值 再按线性唯一延拓到全空间：任意 唯一地写成基向量的有限线性组合 （），定义 。由 Hamel 基表示的唯一性， 是良定义的线性泛函（这一步用到"有限组合"与"表示唯一"，是 Hamel 基而非 Schauder 基的本质）。
第四步：验证无界。 对每个 ， 故 因此 不是有界算子。由"线性泛函连续 有界"（标准等价： 在 处连续 存在 使 ，再由平移得全局连续）， 不连续。
注（边界与依赖）： 此结论对任意无穷维赋范空间成立，完备性其实未被用到；真正不可省的是选择公理（用于 Hamel 基）。在仅 ZF（甚至 ZF+DC）的某些模型中（例如"每个实数子集都具有 Baire 性质"的模型），Banach 空间上一切线性泛函可全为连续，故"无穷维 存在不连续泛函"本质依赖 AC。 ∎
设 线性，。
(⇒) 有界 闭。 若 有界，则 连续。 是 中的闭集，连续映射下闭集的原像为闭集，故 闭。
(⇐) 闭 有界。
平凡情形。 若 ，则 显然有界（）；此情形 自然闭，无需进一步讨论。下设 。
非平凡情形。 取 使 ；不妨经标度后设 。由 线性可得直和分解 其中 （因 ），且 （若 则 ）。
现 闭，且 （因 ），故 。由于 闭且 ，点到闭集的距离为正： （这一行不可跳过的理由： 若 ，则存在 使 ，即 ；因 闭，极限 ，与 矛盾。故 。）
对任意 ，写 ，其中 。
合并两种情形，对一切 有 ，故
至此 (2) 的等价" 有界 闭"证毕。
(无界 稠密。) 设 无界（从而 ，否则 有界）。考虑闭包 ，它是 的闭子空间（子空间的闭包仍是子空间：由加法、数乘连续， 对线性运算封闭），且 。
关键观察： 在 中余维数为 。由上面的直和分解 知商空间 一维。因此夹在 与 之间的子空间只有两种： （理由： 在一维商空间 中， 是子空间，只能是 或全空间，分别对应 或 。）
将此应用于 ：要么 ，要么 。
∎
由 (1)，无穷维 Banach 空间 上存在无界（即不连续）线性泛函 。由 (2)，其核 稠密且余维数为 。固定 使 （无界故 ，这样的 存在）。注意 取遍全体实数 （值域是 的非零子空间，即 本身）。
构造。 为避免把零核 拆开导致非凸，采用最干净的半空间构造——直接按 的符号划分，并把"零集" 整体并入 一侧：
下面逐条严格验证四条性质。
(a) 不交：。 需同时满足 与 ，不可能。故 。
(b) 并为全空间：。 对任意 ，实数 满足 或 之一（实数全序的三歧律），故 或 。即 。
(c) 皆凸。 设 ，。由 线性， 因 且 不同时为 ，故 （当 两项均严格正；当 或 退化为 或 ，仍 ）。于是 ， 凸。
同理设 ，则 ，得 ，故 ， 凸。 （这正是"半空间凸"的本质： 线性使得 沿线段取值是仿射的，区间 、 凸，其原像在凸组合下封闭。）
(d) 皆稠。 关键在于： 不连续，故 不把"小球"映成"小区间"——它能在任意小的扰动里取到任意大（任意符号）的值。精确地说，由 (2) 知 稠密。
稠密。 任取 与 ，要在 中找点距 不超过 。
稠密。 完全对称：任取 与 ，取 使 ，令 （ 同上）。则 ，故 ，且 。故 。
（注意： 已直接含稠密集 ，故 稠密更显然；上面给出统一对称写法。 不含 ，必须靠 的微小平移把零核点推到正侧，这一步用到 稠密——而 稠密正源于 无界，即 (1)(2) 的成果。）
结论。 、 满足
∎
核心机制是"线性泛函的连续性 其核闭"这一二分律，而它背后真正的张力在于：Hamel 基（靠 Zorn/选择公理）允许我们随意指定基上的值，于是在无穷维中轻易造出"沿某可数方向爆炸"的无界泛函——这正是 (1) 不依赖完备性、却依赖 AC 的原因。(2) 的硬核是 (⇐)：用 余维为 把" 到闭核的正距离 "翻译成一致估计 ；而"无界 核稠密"则是同一余维 结构的对偶用法——夹在 与 之间没有中间闭子空间，故 非 即 。(3) 把前两问"焊接"起来：无界泛函给出稠密的核与半空间凸性，于是 与 这对半空间既凸又同时稠密——这种"两个稠密凸集铺满全空间"的反直觉现象，几何上不可能发生在 ，它纯粹是无穷维不连续性的产物。最易错处有三：把核 拆开并入两侧会破坏凸性（务必整段并入一侧，如本解归入 ）；稠密性证明若忘了 无界这一前提就推不出 稠密；以及 (2) 中 与边界 情形都必须显式交代，不能以"显然"略过。
English.
Let be an infinite-dimensional separable Hilbert space.
Show that admits a norm that is not equivalent to the norm arising from the inner product.
Remark. Two norms on a vector space are called equivalent if there exist constants such that for all .
中文.
设 为无穷维可分 Hilbert 空间。
证明： 上存在一个范数，它与由内积诱导的范数不等价。
注. 向量空间 上的两个范数 称为等价的，若存在常数 ，使得对一切 有 。
记内积诱导的范数为 ，记其标量域为 （ 或 ）。我们将构造 上的另一范数 ，使其与 不等价。整个构造的关键是制造一个线性但不连续（无界）的泛函，并以它"扰动"原范数。
我们断言：
构造（借助 Hamel 基与选择公理）。 由 Hamel 基存在定理（其证明用到 Zorn 引理，等价于选择公理）：任一向量空间都有 Hamel 基（即极大线性无关组，亦即使每个向量可唯一地表为有限个基向量的线性组合的集合）。设 为 的一个 Hamel 基。
由于 无穷维， 必为无限集——这已足以在其中抽取一列可数子集。事实上 还不可数，下面给出证明（此结论本题虽非抽取子列所必需，但它精准刻画了无穷维 Hilbert 空间的 Hamel 维数，并落点于 的完备性，值得点明）。
取可数正交规范基 （可分无穷维 Hilbert 空间存在可数正交规范基，这是 Gram–Schmidt 正交化作用于可数稠密集的结果）。若 可数，则 作为向量空间是可数维的；将可数 排成 ，记 ，各 为有限维子空间，从而是闭的无处稠密集（有限维真子空间在无穷维空间中无内点，故无处稠密），且 。由 Baire 纲定理，完备度量空间不能写成可数个无处稠密集之并，矛盾。故 不可数。点明落点：此处用到了 的完备性。
既为无限集，特别地含一列可数子集，记为 ，且不妨设 （基向量非零，归一化即可）。在 Hamel 基 上任意指定取值即可唯一线性延拓到全 （因为每个 有唯一的有限展开 ，其中仅有限个 ）。我们定义 由于对每个 仅有限个 ，上式实为有限和，故 良定义；又因系数 对 线性依赖（唯一展开的线性性）， 是 -线性的。
无界：取 ，则 而 。于是 即 不是有界线性泛函，等价地（线性算子连续 有界） 不连续。（第一步）
必要的强调：无界线性泛函的存在性本质依赖选择公理。在 上凡是"具体可写出"的线性泛函（如由 Riesz 表示定理给出的 ）都是连续的；不连续泛函只能借 Hamel 基非构造地得到。这正是无穷维与有限维的根本差异：有限维空间上一切线性泛函自动连续，所有范数互相等价，故本题结论在有限维下不成立。
定义 逐条验证范数三公理（非负性与正定性、正齐次性、三角不等式），并单独处理零元情形。
非负性与正定性：显然 。若 ，由两项均非负知 ，从而 （ 是范数）；反之 时 且 （线性泛函必有 ），故 。边界情形 单独成立。
正齐次性：对任意标量 ，由 及 的 -线性 （故 ），得 此处 的边界情形给出 ，与上一致。
三角不等式：对任意 ，由 的三角不等式与 线性后取绝对值的三角不等式 ，得
三公理全部满足，故 确为 上的范数。（第二步）
显然恒有 （因 ），即一侧不等式 以 成立。不等价之处在另一侧：我们证明不存在常数 使得
反设 对某 成立。代入第一步构造的单位向量列 （）： 即 对一切 成立，矛盾。故 对任何有限 都不成立。
由等价的定义（见上"注"），既然不存在 使 ，两范数不等价：
由上一步知 在 -单位球面上无界（），故恒等映射 是线性双射但不连续（它把 -单位球面映为 范数无界的集合）。此处可顺便点明一个深刻结论：若 也是 Banach 空间（完备），则注意逆方向的恒等映射 连续（因 ，故它是有界线性映射，范数 ），而它又是双射；由 开映射定理（或等价的有界逆定理），两个 Banach 空间之间的连续线性双射其逆也连续，从而 也连续、两范数双向可比即等价——与第三步矛盾。故 这与" 不连续"是同一现象的两面：完备性 内积范数的可比性会强行逼出连续性，而我们的 恰恰逃出了这层约束。
核心机制只有一句：无穷维空间上存在不连续的线性泛函，而"用一个无界泛函给原范数加项" 立刻得到不等价的新范数。为什么必须搬出 Hamel 基（选择公理）？因为凡能"写出公式"的线性泛函都是连续的（Riesz 表示），无界泛函的存在是非构造性的——这正是本题与有限维（所有范数等价）的分水岭。需要留意的层次：抽取反例列 只用到 Hamel 基是无限集（无穷维直接保证）；而"Hamel 基不可数"是更精细的结论，其证明用 Baire 纲定理配合 的完备性，是常被遗漏却能体现功底的细节。易错点有三：一是只验证 是范数却忘了真正比较两范数；二是把不等价误证成两侧都失败（其实 一侧总成立，关键在另一侧无界）；三是忽视 无界必须落在单位球面的具体反例列 上。最后的不完备性注记借开映射定理反推，揭示了"完备 范数可比 等价"的刚性，加深对全题的理解。
English.
Let be a Hilbert space with orthonormal basis . An operator is Hilbert–Schmidt iff , where .
(1) Show the definition is independent of the choice of ONB.
(2) Show if is HS then so is (Hilbert-space adjoint), and , where is the HS norm.
(3) Show if is HS then (operator norm).
(4) Show if is HS then is compact.
(5) Explain why the space of HS operators on becomes a Hilbert space under the HS norm.
中文.
设 为具有标准正交基 的 Hilbert 空间。称算子 为 Hilbert–Schmidt 算子（简记 HS），当且仅当 ，其中 为 在该基下的矩阵元。
(1) 证明：上述定义与标准正交基（ONB）的选取无关。
(2) 证明：若 为 HS 算子，则其 Hilbert 空间伴随 亦为 HS 算子，且 ，其中 称为 HS 范数。
(3) 证明：若 为 HS 算子，则 ，其中 为算子范数。
(4) 证明：若 为 HS 算子，则 为紧算子。
(5) 说明： 上全体 HS 算子在 HS 范数下何以构成一个 Hilbert 空间。
记 为 的一组固定 ONB。本题采用 Hilbert 空间内积关于第一变元线性、第二变元共轭线性还是相反的约定均可——只须前后一致；下文统一固定一种约定，使得题给矩阵元 与 (5) 中的 HS 内积自洽（见 (5) 处说明）。下文所有指标求和在 (1)(2)(4) 及 (5) 的范数估计中均为非负项求和；对非负项的双重（乃至任意指标族）求和，由 Tonelli 定理（视为计数测度上的二重积分，或等价地：非负项级数的上确界与求和分组次序无关）可无条件自由交换次序。涉及收敛或绝对收敛级数的极限交换则另行点明依据。
引理. 设 ， 与 为 的任意两组 ONB。则
证. 对固定的 ，向量 关于完备规范正交系 满足 Parseval 等式： （此处必须用到 是完备规范正交系即 ONB，Parseval 等式方成立；若仅为正交规范系而不完备，只能得 Bessel 不等式 。）对 求和，所有项非负，由 Tonelli 定理交换 为 ： 由伴随定义 ，取模不变，故对固定 ， 的 Parseval 等式给出 代入即得 。
特别地，令 同一组基，并对固定 用 的 Parseval 把 收成逐列范数和：
设 与 为 的任意两组 ONB。要证 由 (1.1)（分别对两组基应用）这等价于证明
两步链接，仅用引理 。
把 (1.3)(1.4) 串起来即得 (1.2)。结合 (1.1) 对两组基的应用，对任意两组 ONB 成立链式恒等式 （各端皆允许取值 ，相等含义包括"同为 "）。最左端在基 下计算、最右端在基 下计算，二者相等，故 之值——从而"是否 HS"这一性质与 HS 范数 ——与 ONB 的选取无关。
注（避免循环）. 上述论证不依赖任何"右端不随基变"的事先假定：(1.3)(1.4) 都是引理 的直接特例，引理本身只用到 Parseval 与非负项 Tonelli。中间量 仅作为桥梁出现，最终被消去，结论 (1.2) 只含 与两组基本身。
由 (1.1) 与引理特例 (1.3)： 另一方面，对算子 应用 (1.1)（其矩阵元 ，且不难验证 ）： 两式右端均为 （求和指标改名不改值），故 特别地，若 为 HS（即 ），则 ，即 亦为 HS。两量同时有限或同时为 ，定义自洽。
设 为 HS，故 。任取 ，。将 按 ONB 展开：，其中 ，且由 Parseval 有 。
收敛与连续性的可交换： 部分和 （按 范数，这是基展开的定义），而 连续（），故 由三角不等式对部分和取极限： 对右端用 Cauchy–Schwarz 不等式（在 中，序列 与 ）： 末步用 (1.1) 即 。这里 正因 ，故右端有限，从而 确为有限实数，前述三角不等式的极限传递与 Cauchy–Schwarz 均合法。
于是对一切单位向量 有 ，取上确界：
边界情形 ： 平凡成立，不影响上确界（上确界取在单位球面上）。
不失一般性设指标集可数，记 ONB 为 。（若 不可分，则由 知至多可数个 ；将下述截断只取这可数族对应的方向，论证不变。）
构造有限秩逼近。 对 ，令 为到 的正交投影，定义 则 的值域含于 ，维数 ，故 为有限秩算子，从而紧（有限秩必紧：单位球的像落在有限维空间的有界集中，由有限维空间的 Heine–Borel 性质而预紧）。
HS 范数估计差算子。 ，作用为 ，在基 下满足 与 。由 (1.1) 应用于 ：
用 (3) 由 HS 范数控制算子范数。 仍为 HS（），故 (3) 适用： 由 ，收敛级数的尾和趋于 ：
结论。 是一列紧算子 按算子范数的极限。由"紧算子全体 在 中按算子范数闭"（紧算子按算子范数的极限仍紧——标准定理，可用对角线法或直接验证像集预紧证明），得
记 。
约定说明. 固定 的内积约定，使题给 成立；以下取内积关于第一变元共轭线性、第二变元线性的约定（即 在 中共轭线性）。在此约定下后续两表达式相等且各公理自洽（若改用相反约定，只须把下面的 整体替换为 ，结论不变）。
第一步： 是配以内积的（准 Hilbert）空间。 定义 两表达式相等： 对固定 ， 末步用 完备的（广义）Parseval 恒等式 （逐 收敛），且 。再对 求和。 该级数绝对收敛、故 (5.1) 良定义： 由 Cauchy–Schwarz（先在 中、再在 中），
第二步：完备性（"Hilbert"的实质）。 设 为 中的 Cauchy 列，即 （）。
(a) 先得算子范数极限。 由 (3)，，故 亦为 中的 Cauchy 列。因 完备 为 Banach 空间（关于算子范数完备），存在 使 此即 (3) 这一不等式"把 HS 收敛降级为算子收敛"的落点——必须用到 （从而 ）的完备性。
(b) 证 且 。 Cauchy 列在 下有界：存在 使 对一切 。算子范数收敛 蕴含逐矩阵元收敛：对每对 ， （内积关于范数收敛连续，且 ）。于是对任意有限指标子集 可逐项取极限： 对一切有限 取上确界（非负项级数之和等于其有限部分和的上确界）： 故 。
再证 HS 范数收敛。固定 ，取 使得 。对任意有限 及 ： 固定 ，令 （有限和中逐元 ，有限项极限可交换）： 此式对一切有限 成立，对 取上确界（非负项级数对有限截断取上确界即得全和，亦可视为 Fatou 引理对计数测度的特例）： 即 对一切 ，故 （HS 范数）。
综上，每个 HS-Cauchy 列都在 内收敛，
核心机制是一个朴素而强大的"换基不变量"：先用 Parseval 等式把双重和 逐列收成 （这一步必须强调基的完备性：只有 ONB 才有 Parseval，准正交系只能给 Bessel ）；再由换基核心引理 ：（对任意两组 ONB，由 Parseval 非负项 Tonelli 交换次序），两步链接 即一举拿下 (1) 基无关；而引理在同一组基上的特例 又直接给出 (2) 的 。要点是：中间桥梁量 出现后被消去，结论不残留对辅助基或 的依赖，避免了循环。
(3) 的 是 (4)(5) 的枢纽：它把"难算的算子范数"夹在"好算的 HS 范数"之下。于是 (4) 用有限秩截断 ，以 HS 尾和 压住算子范数差 ，借"紧算子按算子范数闭"得紧性；(5) 则用同一不等式把 HS-Cauchy 降级为算子-Cauchy，从 的完备性先拿到算子范数极限 （连带逐矩阵元收敛），再用"先固定有限指标 、取极限、后对 取上确界"（Fatou / 非负项截断取上确界）把收敛"抬回" HS 范数，并顺带证得极限仍属 。
易错点有四：(i) 误把 Bessel 不等式当 Parseval（必须强调 ONB 完备性）；(ii) 在 (1) 中以为"右端不随辅助基变"需要额外论证甚至落入循环——正确做法是把全部等式都化归为引理 的直接特例；(iii) 在完备性证明里直接对无穷和取极限（应先固定有限 、取极限、再对 取上确界，避免极限与无穷求和的非法互换）；(iv) 忽略 不可分时"由平方可和自动得到至多可数个 "这一约化。最后提醒：(5) 的 HS 内积与题给矩阵元 共用同一内积约定， 仅在约定一致时两式相等，换约定时把 改为 即可。
English.
Let be a Hilbert space.
(1) Show any can be written with self-adjoint.
(2) Show is normal iff .
(3) Prove: Let be a compact normal operator. Then has an ONB consisting of eigenvectors of ; for each the eigenspace is finite-dimensional, and for any the set is finite.
(4) Prove: If is an arbitrary family of compact normal operators on with for all , then has an ONB such that each is an eigenvector of for every .
中文.
设 为一个 Hilbert 空间。
(1) 证明任一 都可写成 ，其中 为自伴算子。
(2) 证明 是正规算子当且仅当 （即 可交换）。
(3) 证明：设 为紧正规算子。则 拥有一组由 的特征向量构成的标准正交基（ONB）；对每个 ，特征空间 是有限维的；并且对任意 ，集合 是有限集。
(4) 证明：若 是 上任意一族紧正规算子，且对一切 有 ，则 拥有一组 ONB ，使得每个 同时是每个 （）的特征向量。
我们先单列三条贯穿全题的引理，后续反复援引。
引理 A（正规算子的等模性质）. 设 正规，即 ，则对一切 有 。
证. 对任意 ， 其中第三个等号正是正规性 ，开方即得。
由引理 A 立得：若 正规，则 也正规（因 ，而 与 均交换，直接验证 ）。故 特别地由 (A) 得 ：因 。
引理 B（交换正规算子的伴随亦交换；Fuglede–Putnam）. 设 ， 正规，且 。则 。
说明. 这是 Fuglede–Putnam 定理（Fuglede 定理对 情形，Putnam 推广至本一般形式）。其证明（如用 为整函数并由 Liouville 定理判定为常值）属标准结果，本题直接援引。该结论在无穷维中非自动成立，故必须显式引用——这正是 (4) 中"正交补不变"一步的关键依据。
引理 C（交换则保持特征空间不变）. 设 且 （）。则 保持 的每个特征空间 不变。
证. 设 ，即 。则 故 ，得 。
注（关于不变子空间的正交补）. 仅有 一般不能保证 保持 的正交补不变；要使正交补也 -不变，需要 同时与 交换。当 也正规时，由引理 B（Fuglede–Putnam）即得 ，从而正交补的不变性成立（详见 (4)）。
对给定 ，定义 二者均为 中元素（有界算子的线性组合仍有界）。验证自伴：利用 、 及 ， （注意 ，故分母由 翻回 时分子也变号，符号恰好相消。）于是 自伴。又
唯一性. 若另有自伴 使 ，则取伴随（自伴性）得 ；两式相加减得 ，。故分解唯一。
由 (1)，，（ 自伴）。逐项展开（注意 ）： 两式相减：
因 ，故 （即 正规）当且仅当 。两个方向皆由上式直接等价，无需额外论证。
设 紧且正规。我们分五步。约定 。
第一步：不同特征值的特征空间相互正交。 设 ，，。由 (A)， 蕴含 ，即 。于是 故 ，因 得 。即 。（此处 用到 ，再次由 (A)。）
第二步： 时 有限维；且对任意 集合 有限。 我们一次性证一个关键不等式，它同时给出两条结论。
断言. 设 为两两正交的单位向量列，满足 且 ，则 没有 Cauchy 子列；从而这种正交单位列必为有限列。
证. 对 ，由正交性 ， 即 中任意两项距离 ，不可能有 Cauchy 子列。但 紧且 有界， 必有收敛（故 Cauchy）子列，矛盾。
由此：
第三步（本题心脏）：若 紧、正规且 ，则 存在模等于 的非零特征值。
关键等式 . 首先 恒等式 对任意 成立： 故 。其次，对正规 证 ：令自伴算子 （正规性），由 ，且利用正规性有恒等式 故再用 恒等式与自伴算子 得 亦正规，归纳得 ，由谱半径公式 。
取到该谱点为特征值. 因 ，存在 使 。我们证 是特征值，即 。
断言：存在单位向量列 使 （近似特征向量）。 反证：若不然，则存在 使 （），即 有界下方。有界下方蕴含 单射且值域闭（若 ，则 Cauchy，，）。又由 (A)，，故 亦单射，于是 结合值域已闭得 。故 双射，由开映射定理有界可逆，与 矛盾。断言成立。
用紧性升级为真特征向量. 紧、 有界，故 有收敛子列；不妨设 。由 及 （可作除法）， 故 ，且 。 连续，对极限取值 。于是 满足 。 （第三步）
第四步：穷举所有特征向量，覆盖正交补。 设 为 的全部非零特征值（由第二步，对每个 仅有限个满足 ，故非零特征值至多可数；若无穷则 ）。令 注意 与各 两两正交：对 与 ，第一步的论证仍成立——对 ，由 (A) 故 ，于是 ，得 。
同时保持 与 不变（ 为约化子空间）. 各 与 显然 -不变，取闭包后 。又由 (A)，，故每个 同时是 与 的特征空间，从而 也 -不变。于是对 、 有 （因 ），即 ，得 。
令 。则 仍紧（紧算子限制在闭不变子空间上仍紧：子空间单位球含于全空间单位球，像相对紧）且正规（因 同时 -不变，是约化子空间，，正规性按内积逐点继承）。关键： 没有非零特征值—— 的任何非零特征向量也是 的非零特征向量，按构造已落入 ，与其在 中且非零矛盾。由第三步的逆否命题：紧正规且无非零特征值 。
故 对一切 成立，即 。但 ，而 ，于是 。即 ，从而
第五步：拼出 ONB。 在每个有限维 （第二步）中取一组（有限）ONB；在 中取一组 ONB（ 是 的闭子空间，故仍为完备的 Hilbert 空间，ONB 存在性由 Zorn 引理保证）。由于各特征空间两两正交且其（闭）直和等于 ，将这些向量并起来即得 的一组 ONB，其中每个基向量都是 的特征向量（特征值为相应 或 ）。
设 紧正规且两两交换。目标：求 的一组 ONB，使每个基向量同时是所有 的特征向量。
关键引理（互不变性，含正交补）. 固定 。则 同时保持 的每个特征空间 及其正交补 不变。
证. 由 及引理 C，。再证正交补不变：因 正规、 与 交换，由引理 B（Fuglede–Putnam） 得 。于是对 （由 (A) 同时有 ）， 因此对 、， 即 ，得正交补不变。
说明. "正交补不变"这一步在无穷维下必须用到 ，而后者由 Fuglede–Putnam（引理 B）从 、 正规推出，并非自动。故本问无法绕开 Fuglede–Putnam。
进一步：在每个 上 的限制仍是该（闭）子 Hilbert 空间上的紧正规算子，且诸 在该子空间上仍两两交换（限制保持算子等式）。
有限维块上的同时对角化（递推种子）. 对 ， 有限维（由 (3) 第二步）。在该有限维内积空间上， 是一族两两交换的正规算子。线性代数事实：有限维内积空间上一族两两交换的正规算子可被同一组 ONB 同时对角化——逐个用谱定理把空间细分为各算子的公共特征子空间，因维数有限故过程终止，得到公共特征向量基。
一般情形——Zorn 引理取极大公共特征向量族. 考虑集合 以包含关系为偏序。 非空：空族 （空族为正交单位族，且"每个元素都是公共特征向量"对空族空真成立）。任一链 的并 仍是正交族（任两元同属链中某一成员，故正交）并保持公共特征向量性质，是该链在 中的上界。由 Zorn 引理 取极大元 。令 ，。
由互不变性引理，每个 （及 ）保持 中每个公共特征向量张成的一维空间不变，从而保持其闭线性张成 不变，于是 且 ； 仍是 上紧正规、两两交换的族。
断言 . 若 ，我们将在 中找到一个新的公共单位特征向量，与极大性矛盾。
故 ，。极大正交单位族 张成 （稠），故为 的一组 ONB，且每个向量同时是所有 的特征向量。 此处对一般指标集 与无穷维 必须使用选择公理（Zorn 引理）。
核心机制是把"正规"翻译成两条可操作的几何性质：等模性 （引理 A）与由此而来的"、 同核、同特征空间"。前者直接给出不同特征值的特征向量正交（第一步），并使每个特征空间同时是 与 的特征空间——这保证了不变子空间的正交补也不变，是"分块递推"得以成立的根本。
第 (3) 问的心脏是取到模为 的非零特征值：正规性给 （经 的逐次平方，关键恒等式 用到正规性），把谱半径锚在范数上；紧性则把"近似特征向量"升级为真特征向量—— 中右端收敛逼出 收敛，这一步若漏掉 就无法解出 。第三步的"近似特征向量存在性"用反证：若 有界下方，则结合 (A) 可证其双射可逆，与 矛盾。
易错点有三：(i) 紧性的反证要用"正交单位列的像两两距离 故无 Cauchy 子列"，而非仅"有界"；(ii) （即 ）须单独纳入 ONB，否则覆盖不全；(iii) 第 (4) 问中"交换 也与伴随交换"在无穷维并非自动，必须显式援引 Fuglede–Putnam（引理 B），它正是"正交补不变"这一关键步骤的依据；随后借有限维公共特征块上的同时对角化作种子、Zorn 引理取极大公共特征族收尾，而 Zorn 的非空性由 平凡给出。