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変分・動的輪郭とレベルセット — どの輪郭がどこで止まり、何を保証するか

セグメンテーション拡充 第 2 陣のカテゴリ contour(実体 segcontour、10 op)です。

閾値や分水嶺が「画素を一度に振り分ける」のに対し、ここの手法は **曲線(または曲線を零等高線に

持つ関数 φ)を、エネルギーが下がる向きに少しずつ動かす** ものです。学習器は載せません —— どの op も

定理か第 2 実装の門 を持ちます(下の表)。

規約(全 op 共通): 画素の添字は (row, col)。snake の点は (N, 2) の [row, col]。レベルセットは

φ < 0 が内側。マスク(bool)を渡すと距離変換の符号付き距離に直してから使います。

返りはどれも table(dict)で、mask を持つ op はそれが最終の領域です。入力が不正なら ValueError

(黙って直しません)。

3 つの系統

• パラメトリック(点列) — snake_evolve: Kass–Witkin–Terzopoulos 1988 の半陰的更新

x_t = (A + γI)^(-1)(γ x_(t-1) − f_x)。外力は external で edge(勾配の大きさ)/ gvf / potential / none。

gvf_field は Xu–Prince 1998 の勾配ベクトル流(縁から離れた所まで力を拡散した場)で、snake を

凹部へ引き込む ための外力です。

• 領域の当てはめ(縁を使わない) — chan_vese_energy / chan_vese_evolve(Chan–Vese 2001。

内外の平均 c1・c2 で近似した 2 値画像との差 + 長さ)、morph_chan_vese(Márquez-Neila ら 2014 の

形態学的近似、MorphACWE)。

• 縁で止まる(測地的) — edge_stop_g(g = 1 / (1 + |∇G_σ*I|² / k²)、縁で小さい)、

morph_geodesic_ac(形態学的 GAC、MorphGAC。入力は g)、drle_evolve(Li ら 2010 の距離正則化

レベルセット、再初期化なし)。

• レベルセットの道具 — level_set_reinit(φ を同じ零等高線の符号付き距離に直す、Sussman ら 1994 +

Russo–Smereka 2000)、curvature_flow(平均曲率流。閉曲線の面積は dA/dt = −2π で減る)。

門(何が保証され、何が保証されないか)

| op | 門(真値の出どころ) | 保証しないこと |

|---|---|---|

| snake_evolve | 外力 0 の円は 1 反復で半径が γ/(γ + λ₁) 倍(巡回行列の固有値、厳密)。γ ≥ L(外力の Lipschitz)ならエネルギーは単調非増加(降下補題)。第 2 実装 = skimage active_contour | γ < L・max_px_move・resample_every を使うと単調性は途切れる(n_increase に実測) |

| gvf_field | Euler 方程式が線形 → 疎行列の直接解と反復の 2 通りで解き、残差 ≈ 0 と一致 | 時間刻みの安定条件は記憶による(method="direct" を推奨) |

| chan_vese_* | 離散エネルギーの厳密な勾配 + Armijo の後退で単調非増加。凸緩和版は双対ギャップを返す | 論文自体は単調減少を主張していない(ここでの離散化の性質) |

| morph_* | データ段の前後で当てはめのエネルギーは単調非増加(画素ごとに分離)。第 2 実装 = skimage の同名関数 | 平滑段はエネルギーを上げうる(実測を返す) |

| level_set_reinit | 帯の中で \|∇φ\| ≈ 1、零等高線の Hausdorff ≤ 1 px、距離変換の符号付き距離と一致 | 帯の外の値 |

| drle_evolve | 零等高線の近くの \|∇φ\| の分位点を測って返す(Li の主張「距離の形を保つ」の確認) | エネルギーは陽的な刻みのため増えることがある(n_increase) |

| curvature_flow | dA/dt = −2π(回転数 1、凸でなくても)、円なら r² = r₀² − 2t | 曲線が消える時刻以降 |

流れ

Mermaid 図(ソース):

flowchart TD
    IMG["image2d"] --> G["edge_stop_g<br/>g = 1/(1+|∇G*I|²/k²)"]
    IMG --> GVF["gvf_field<br/>(u, v)"]
    IMG --> SN["snake_evolve<br/>(image, 初期点 (N,2))"]
    GVF -. "external='gvf'" .-> SN
    IMG --> CV["chan_vese_evolve / morph_chan_vese<br/>(image, 初期 mask)"]
    G --> GAC["morph_geodesic_ac<br/>(g, 初期 mask)"]
    IMG --> DR["drle_evolve<br/>(image, 初期 mask)"]
    CV --> M["mask"]
    GAC --> M
    DR --> M
    SN --> M
    M --> RE["level_set_reinit / curvature_flow"]
    M --> SC["seg_score_card(segeval)<br/>真値と採点"]

最短の使い方

import numpy as np
import fullseye as fs

yy, xx = np.mgrid[0:64, 0:64]
truth = (yy - 32) ** 2 + (xx - 31) ** 2 <= 14 ** 2           # 半径 14 の円盤(真値)
img = 0.2 + 0.6 * truth                                       # 明るい円盤

init = np.zeros((64, 64), bool)
init[10:50, 12:52] = True                                     # 食い違う四角から始める
cv = fs.ledger.chan_vese_evolve(img, init, n_iter=60)          # 縁を使わない当てはめ
assert cv["n_increase"] == 0                                  # エネルギーは 1 度も増えない

g = fs.ledger.edge_stop_g(img, sigma=1.0, k=0.1)["g"]         # 縁で小さい画像
outer = np.pad(np.ones((56, 56), bool), 4)                   # 外から囲んで縮める
gac = fs.ledger.morph_geodesic_ac(g, outer, n_iter=150, balloon=-1.0, threshold=0.5)
# ★threshold を省くと(auto = g の 40 % 点)、平坦な合成画像では g ≡ 1 が 4 割を超えて閾値 = 1 になり
#   風船が一度も働かない —— 輪郭は初期の四角のまま止まる(下の症状表)。

for m in (cv["mask"], gac["mask"]):
    card = fs.ledger.seg_score_card(m.astype(int), truth.astype(int))
    assert card["dice"] > 0.95

flow = fs.ledger.curvature_flow(truth, t_end=20.0)            # 面積は dA/dt = −2π で減る
assert abs(flow["area_rate"] - flow["area_rate_theory"]) < 0.05 * abs(flow["area_rate_theory"])

症状 → 原因

| 症状 | 原因 | 手当て |

|---|---|---|

| snake が凹部(U 字の内側)に入らない | 勾配の外力は縁の近くにしか無い(Xu–Prince 1998 の図の現象) | gvf_field を外力に(external="gvf")、または resample_every で点を打ち直す |

| snake が縁に届く前に点になって縮み切る | 外力が届かない所では内部エネルギー(α・β)だけが効き、円は γ/(γ+λ₁) 倍ずつ縮む | 初期輪郭を縁に近づける、sigma を上げて外力の届く範囲を広げる、kappa を上げる |

| snake のエネルギーが増える(n_increase > 0) | γ < L(gamma_ge_lipschitz が False)か max_px_move で近接勾配の性質が失われた | γ を lipschitz 以上にする |

| Chan–Vese が照明の勾配で半分を丸ごと取る | 大域の 2 平均は照明のむらを「2 つの領域」と見る(縁を使わない手法の限界) | 縁で止まる morph_geodesic_ac / drle_evolve、または先にフラットフィールド補正 |

| 触れ合う粒が 1 つの領域になる | 輪郭法は 2 相(内と外)しか持たず、粒の間を割る力が無い | 結果の mask を分水嶺(watersheds_marker)や blob_split で割る |

| level_set_reinit / curvature_flow が ValueError | φ に内側(φ < 0)と外側の両方が無い(一様な画像を φ として渡した) | マスクを渡す(内外の両方を含む) |

| drle_evolve が ValueError(CFL) | μ·dt ≥ 1/4 | mu を既定(0.2/dt)にする、dt を下げる |

| GAC の輪郭が初期のまま 1 画素も動かない | threshold="auto"(g の 40 % 点)が平坦な背景で 1 になり、風船の効く画素(g > threshold/\|balloon\|)が無い | threshold を数で与える(例 0.5)。返りの threshold が 1.0 なら疑う |

| GAC が全面に広がる / 消える | 風船 balloon の符号が初期の置き方と逆 | 外から囲むなら負(縮める)、内に置くなら正(膨らませる) |

一次情報

• Kass, Witkin, Terzopoulos 1988, "Snakes: Active contour models": <https://doi.org/10.1007/BF00133570>

• Xu, Prince 1998, "Snakes, shapes, and gradient vector flow": <https://doi.org/10.1109/83.661186>

• Chan, Vese 2001, "Active contours without edges": <https://doi.org/10.1109/83.902291>

• Caselles, Kimmel, Sapiro 1997, "Geodesic active contours": <https://doi.org/10.1023/A:1007979827043>

• Márquez-Neila, Baumela, Álvarez 2014, "A morphological approach to curvature-based evolution of curves and surfaces": <https://doi.org/10.1109/TPAMI.2013.106>

• Sussman, Smereka, Osher 1994, "A level set approach for computing solutions to incompressible two-phase flow": <https://doi.org/10.1006/jcph.1994.1155>

• Russo, Smereka 2000, "A remark on computing distance functions": <https://doi.org/10.1006/jcph.1999.6345>

• Li, Xu, Gui, Fox 2010, "Distance regularized level set evolution and its application to image segmentation": <https://doi.org/10.1109/TIP.2010.2069690>

• Gage, Hamilton 1986, "The heat equation shrinking convex plane curves": <https://doi.org/10.4310/jdg/1214439902>

• Grayson 1987, "The heat equation shrinks embedded plane curves to round points": <https://doi.org/10.4310/jdg/1214441371>

segcontour の docstring に、原論文の版面で確かめた式と、二次資料・記憶にとどまる箇所(GVF の時間刻みの

安定条件、形態学的作用素の PDE との同値性の文言、DRLSE の CFL 条件の出典)を分けて書いてあります。

関連

• segeval(採点の物差し)と segworld(真値つきの合成世界): segmentation_scoring_and_worlds ガイド。

輪郭法の限界(照明の勾配・影・触れ合う粒)は合成世界の上で数で見えます(PoC examples/poc_active_contours.py)。

• 既存の sk_chan_vese(2-D レジストリ、skimage の Chan–Vese): chan_vese_evolve の照合相手。

• HALCON Segmentation 章の 9 op(halcon_segmentation ガイド): 画素を一度に振り分ける側。