complex op• Datenarten: cpoints × cpoints → table
• Aufruf: import fullseye as fs; fs.ledger.cplx_laurent_coeffs(z, fz, kmin=-1, kmax=4, method='exact') (die Implementierung direkt: import mathops; mathops.cplx_laurent_coeffs(z, fz, kmin=-1, kmax=4, method='exact'); aus dem Register: opsmath.get("cplx_laurent_coeffs"))
• GPU: nein (nur CPU-Referenzimplementierung)
Laurent- (und Taylor-)Koeffizienten auf einem gleichmäßig abgetasteten Kreis — Residuen inbegriffen.
> Die ausführliche Beschreibung unten ist der Originaltext — Zusammenfassung und Überschriften sind übersetzt.
For f holomorphic on an annulus around c, f(z) = sum_k c_k (z - c)^k with c_k = 1/(2*pi*i) ∮ f(zeta)/(zeta - c)^(k+1) dzeta. On a circle of radius r sampled at n equally spaced angles this becomes a discrete Fourier sum, c_k = (1/(n r^k)) sum_j f_j exp(-i k theta_j) — the trapezoidal rule in the angle, where it converges geometrically rather than as O(n^-2) (Trefethen & Weideman 2014, "The exponentially convergent trapezoidal rule").
c_-1 is the residue at c (when c is the only singularity inside), c_k for k >= 0 are the Taylor coefficients f^(k)(c)/k!, and a non-zero c_-m for m > 1 reveals a pole of order m. Measured on the unit circle with f = 1/(z - 0.5), n = 64: c_-1 = 1 and c_-2 = 0.5 to 1e-16 (machine precision).
method="exact" (default) preserves the direct Fourier sum. method="fast" uses an FFT only when angular gaps agree within 64 * float64 epsilon; otherwise it routes to the exact sum. On 4,096 samples and 201 orders the fast path measured over 15 times faster, while differing from the direct sum by less than 1e-12.
Returns a dict: k (int64 orders, kmin..kmax) · c (complex128 coefficients) · center · radius. The centre is the sample mean, which is exact for a uniformly sampled circle.
Orientation, and how it differs from the rest of the family: the sum runs over the sample *set*, not the sample *order*, so this op always returns the coefficients of the positively oriented circle — the standard definition — whatever order the points arrive in. Feed a clockwise circle and c_-1 still comes back + the residue, while cplx_contour_integral / (2*pi*i) on the same points returns - it (verified). Both are right; they answer different questions (the intrinsic coefficient vs the integral along *this* traversal). Do not cross-check one against the other without fixing the orientation first.
Honest limitation — aliasing: the discrete sum cannot distinguish c_k from c_{k+n}, so a coefficient carries the alias sum sum_m c_{k+m n} r^{m n}. That is negligible for a rapidly converging series (the 0.5^64 term above) and ruinous near the annulus boundary. Requesting more than n coefficients is refused for the same reason.
Raises ValueError: the samples are not a uniformly spaced circle (unequal radii or unequal angular gaps beyond 1e-8 relative — this op is *not* valid on an arbitrary contour, and silently pretending otherwise would return numbers that mean nothing), kmin > kmax, more than n coefficients requested, non-integer orders, and a coefficient that overflowed (r^-k for a small radius and a large negative order).
HALCON: no operator.
Jeder mathops-Operator prüft seine Eingabe vor der Berechnung (nichts rutscht stillschweigend durch):
• Komplexe Eingaben lösen ValueError aus — die Umwandlung nach float64 verwirft den Imaginärteil stillschweigend (numpy meldet nur eine ComplexWarning und liefert eine plausibel aussehende, falsche reelle Zahl). Schreiben Sie .real/.imag/abs() explizit oder nutzen Sie complexops.
• Masked Arrays mit maskierten Elementen lösen ValueError aus — die implizite Umwandlung, die die Maske abstreift und die Rohwerte darunter verwendet, wird abgelehnt. Geben Sie explizit an, ob gefüllt oder verworfen wird.
• NaN/Inf löst bei jeder Eingabe ValueError aus (mit Anzahl abgelehnt — es pflanzt sich durch das gesamte Ergebnis fort).
• Formen sind strikt: 1-D und 2-D werden nie implizit hochgestuft oder gebroadcastet (eine Matrix im Vektor-Slot oder ein Vektor im Matrix-Slot löst ValueError aus; reshapen Sie explizit).
• Größenobergrenze: Operatoren, die eine Matrix nehmen, sowie die stat_histogram-Bins lösen jenseits von mathops.MAX_ELEMENTS (2^26 ≈ 67 Mio. Elemente) ValueError aus.
• Leitfaden zur Familie math_metrology
• Katalog der Beispieldaten (Download-URLs / Lizenzen) — 2-D nutzt skimage.data (BSD/Public Domain) plus synthetische Bilder, 3-D nennt Download-URLs echter Datenquellen (Stanford, PDS, …).
• Herkunft und Literatur der Operatoren — die Quellen der Forschung/Verfahren, auf denen diese Operatorfamilie beruht.
• Der kanonische Algorithmus (Autor, Jahr) und seine Anwendungen stehen im Familienleitfaden oben.
• math_complex — py -3.11 examples/math_complex.py
table als Eingabe)dynsys_poincare_section · dwt_inverse · chebyshev_eval_nd
complex)cplx_contour_circle · cplx_poly_eval · cplx_contour_integral · cplx_winding_number · cplx_cauchy_value · cplx_argument_principle · cplx_joukowski · cplx_mobius
*Provenance: mathops.py — MATH Operator-Registry. Diese Notiz wird von tools/opdocs.py md erzeugt (nicht von Hand bearbeiten).*
© 2026 Kazufumi Furuse — Fullseye operator documentation. Licensed under Apache-2.0.