%path = "Mathematik/Finanz/Zinsen" %kind = kinda["Texte"] %level = 10

\(K\) Kapital

Ein Geldbetrag.

\(i\) Zinssatz

Die Zu- oder Abnahme von \(K\) wird in %=1/100 angegeben.

\(n\) Perioden (Jahre/Quartale/Monate/Tage)

Zum Zinsatz \(i\) gehört immer auch ein Zeitraum, in dem die Zunahme oder Abnahme stattfindet.

Nach diesem Zeitraum ist K um den \(iK\) größer, also \(K_{n=1} = K_0 (1+i) = K_0 q\) (q = 1+i).

Zinseszinsen

Am Anfang eingelegtes Kapital ist nach einer Periode (n=1) \(K_{n=1} = K_0 (1+i) = K_0 q\) wert, nach n=2 Perioden \(K_0 q^2\), nach n=3 Perioden \(K_0 q^3\)

Nach n Perioden:

Rente

Eine Rente ist eine Zahlung (Rate \(r\)) in regelmäßigen Zeitabständen (Perioden). Die Periodenzahl für jede Rate ist anders. Die Endwerte aller Raten aufsummiert ergibt die Rentenformel:

\(R_n = \sum_{m=0}^{n-1} r_m = \sum_{m=0}^{n-1} r q^m = r \frac{q^n - 1}{q-1}\)

Diese Formel kann man anwenden, um den Endwert \(R_n\) der Rente zu berechnen, wenn die Rente am Ende jeder Periode gezahlt wurde (nachschüssig).

Barwert der Rente ergibt sich durch Abzinsen des Endwertes \(B_n = R_n q^{-n}\).

Unterjährige Rente

Um den unterjährigen Zinsatz mit dem Jahreszinssatz vergleichen zu können, muss man umrechnen.

Lineare Umrechnung, wenn in den Monaten oder Quartalen keine Verzinsung stattfindet:

Konforme (äquivalente) Umrechnung bei unterjähriger Verzinsung:

Wenn ein Jahreszinssatz gegeben ist und eine monatliche Rente zu berechnen ist, dann muss zuerst auf den monatlichen Zinssatz umgerechnet werden.

Rentenrest

Um zu beantworten, wieviel Kapital zu einem Zeitpunkt während der Rentenlaufzeit noch übrig ist, zählt man den Rentenwert bis zu diesem Zeitpunkt vom Kapitalwert an diesem Zeitpunkt ab.

Umrechnung einer Rente in eine andere

Kapitalvergleich, Angebotsvergleich

Um Gelder vergleichen zu können muss man sie auf den gleichen Zeitpunkt (etwa jetzt, also Barwert) umrechnen. Umrechnen geht über Auf- oder Abzinsen oder unter Verwendung der Rentenformel.