%path = "Mathematik/Operationen" %kind = kinda["Texte"] %level = 9
Eine grundlegende Operation ist die Addition. Sie kann mengentheoretisch als Kardinalität der Summe zweier disjunkter Mengen gesehen werden:
\(|M\cup N|=|M|+|N|\) wenn \(M\cap N = \emptyset\)
Dies abstrakte Vorstellung kann auf alle konkreten Fälle angewandt werden, wenn man eine Ressourceneinheit (Länge, Gewicht,…) mit einem Element identifiziert und es keine Überlappung gibt, weil etwa die Ressource nicht doppelt vergeben werden kann.
Man muss im konkreten die reale physikalische Gegebenheit berücksichtigen. So addiert sich nicht die Länge von vertikal in ein Rohr eingeführte elastische Stäbe wegen deren Elastizität und deren Gewicht. Das Volumen zweier Flüssigkeiten kann durchmischt aber kleiner als die Summe sein, weil die Ressource Volumen in der Mischung effektiver zugeteilt werden kann.
Der Multiplikation begegnet man zuerst bei der Flächenberechnung eines Rechtecks: Man kann entweder alle Kästchen zusammenzählen (Addition) oder eine Wiederholung (Multiplikation) von Reihen oder eine Wiederholung von Spalten darin sehen (Kommutativität von \(\cdot\)). Wenn man jedes Kästchen mit zwei Koordinaten \((i,j)\) identifiziert, so zählt man mit der Multiplikation die Kombinationen von \(0 <= i <= a\) und \(0 <= j <= b\) und erhält \(a\cdot b\).
In einem Quadrat der Seitenlänge \(a\) hat man \(a\cdot a\) Einheitsquadrate, in einem Würfel der Seitenlänge \(a\) hat man \(a^3\) kleine Würfel … Man zählt hier Kombinationen einer Menge M \(n\) mal mit sich selbst. \(|M\times \dots \times M| = |M|^n\). So kommt man zur Potenz.
Die Multiplikation ist eine Kurzschreibweise der Addition. Man sagt auch sie ist 2. Stufe.
Die Potenz eine Kurzschreibweise der Multiplikation. Man sagt auch sie ist 3. Stufe.
Operation ist ein anderer Name für eine Funktion ({{!util.a("r.cr")}}), wenn bestimmte Eigenschaften, wie Assoziativegesetz oder Kommutativgesetz erfüllt werden. Eine Operation lässt sich gut mit einem Parameter zu einer neuen Menge {(Wert,Operation)} vereinen (siehe Zahlen: {{!util.a("r.ci")}} und Lambda Kalkül) Diese Mengen bestehen dann aus Anweisungen oder Vorgängen, oder besser Operatoren, die dann auf etwas angewandt werden können. Z.B. 3m = (3,mal) Meter, d.h. 3 = (3,mal).