complex op• Data kinds: cpoints × cpoints → measurement
• Call: import fullseye as fs; fs.ledger.cplx_argument_principle(z, fz) (implementation को सीधे call करना हो तो import mathops; mathops.cplx_argument_principle(z, fz), registry से लेना हो तो opsmath.get("cplx_argument_principle"))
Argument principle: केवल f के sampled मानों से, contour से घिरे zeros घटा poles गिनता है।
> नीचे का विस्तृत विवरण मूल text में है — सारांश और headings का अनुवाद हो चुका है।
Z - P = 1/(2*pi*i) ∮ f'/f dz equals the winding number of the image curve f(z) around the origin (Cauchy 1831 / Riemann): as the contour is traversed once counter-clockwise, the argument of f increases by 2*pi (Z - P), counting multiplicities. Computing it as a winding number of the image needs no derivative and no root finding — only f sampled on the path — and returns an exact integer.
Honest limitations, all of them real:
• It returns the difference Z - P, never the two separately. A simple zero and a simple pole inside cancel to 0.
• The result is multiplied by the winding number of the contour itself, so it equals Z - P only for a simple, positively-oriented contour (a clockwise one returns -(Z - P)).
• It is the winding of the *sampled* image polygon, so it aliases low on a coarse contour. A half-turn jump between samples is detected and raised; anything below that is indistinguishable from a genuine slower turn — f = z**5 on a 4-point circle returns 1, not 5 (measured). A RuntimeWarning fires from pi/2 per step onward (WIND_ALIAS_WARN); the verification that actually works is to double n until the count repeats.
Raises ValueError: f vanishes at a sample point (a zero *on* the path — the count is undefined there), the image curve is undersampled (a half-turn between consecutive samples: refine the contour), plus the usual shape/finiteness contracts.
HALCON: no operator.
mathops के सभी ops गणना से पहले input की जाँच करते हैं (कुछ भी चुपचाप पास नहीं होता):
• complex input से ValueError — float64 में ज़बरदस्ती बदलने पर imaginary part चुपचाप छूट जाता है (numpy केवल ComplexWarning देता है और "सही दिखने वाला पर गलत" real number लौटाता है)। .real/.imag/abs() स्पष्ट रूप से लिखें, या complex data संभालने वाले complexops का उपयोग करें।
• masked array (masked elements वाला) से ValueError — mask हटाकर नीचे के raw values इस्तेमाल करने वाला implicit conversion अस्वीकार है। भरना है या हटाना है, यह स्पष्ट रूप से बताएँ।
• हर input पर NaN/Inf से ValueError (गिनती बताकर अस्वीकार — क्योंकि यह पूरे परिणाम में फैल जाता है)।
• Shape सख़्त है: 1-D और 2-D को implicit रूप से promote या broadcast नहीं किया जाता (vector slot में matrix या matrix slot में vector देने पर ValueError; reshape स्पष्ट रूप से करें)।
• Size की सीमा: matrix लेने वाले ops और stat_histogram के bins, mathops.MAX_ELEMENTS (2^26 ≈ 6.7 करोड़ elements) से अधिक होने पर ValueError देते हैं।
• Sample data catalog (DL URL / license) — 2-D के लिए skimage.data (BSD/public) + synthetic, 3-D के लिए real data sources (Stanford/PDS आदि) के DL URL।
• Operators का स्रोत और संदर्भ — इस op family के मूल research/methods के स्रोत।
• Algorithm का मानक स्रोत (लेखक, वर्ष) और उपयोग ऊपर की family usage guide में दिए गए हैं।
• math_complex — py -3.11 examples/math_complex.py
measurement को input के रूप में लेते हैं)—
complex)cplx_contour_circle · cplx_poly_eval · cplx_contour_integral · cplx_winding_number · cplx_cauchy_value · cplx_laurent_coeffs · cplx_joukowski · cplx_mobius
*Provenance: mathops.py — MATH operator registry. यह per-op note tools/opdocs.py md से अपने-आप generate होता है (हाथ से edit न करें)।*
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