transform op• 数据种类:signal × signal → table
• 调用: import fullseye as fs; fs.ledger.hankel_transform(r, f, *, r_max: 'float | None' = None, order: 'int' = 0, n: 'int' = 256) -> 'dict'(要直接调用实现,import mathtransforms; mathtransforms.hankel_transform(r, f, *, r_max: 'float | None' = None, order: 'int' = 0, n: 'int' = 256) -> 'dict';从台账取用则 opsmath.get("hankel_transform"))
用 quasi-discrete 法计算 p 阶 Hankel 变换 F(ν) = 2π ∫_0^∞ f(r) J_p(2πνr) r dr。
(r, f) 是径向样本(r 升序)。通过线性插值放到样本点 r_k 上，r_max(默认 = r 的最大值)之外为 0。若向 f 传入可调用对象，则在样本点上直接求值(忽略 r，必须传入 r_max)。样本点为 r_k = j_k R / S(j_k 是 J_p 的第 k 个零点，S = j_{n+1})，频率 ν_k = j_k / (2πR)。该变换的核 T 是对合(T·T = I)，因此同一函数也可做逆变换(把 F 作为 f 传入)。
门禁：exp(−π r²) 自对偶(F(ν) = exp(−π ν²))。0 阶 Hankel 变换等于轴对称函数的 2 维傅里叶变换的径向截面。
返回值：{"r", "f", "nu", "F", "T_involution_error"}(最后一项为 ‖T·T − I‖_max)。
mathops 的每个算子都先校验输入再计算(不让任何东西无声通过):
• complex 输入一律 ValueError —— 强制转成 float64 会无声丢掉虚部(numpy 只发一个 ComplexWarning,然后返回一个「看着合理却是错的」实数)。请显式写出 .real/.imag/abs(),或改用支持复数的 complexops。
• 含被掩元素的 masked array 一律 ValueError —— 拒绝「剥掉掩码直接使用下面原值」的隐式转换。请显式选择填充还是丢弃。
• 所有输入中的 NaN/Inf 一律 ValueError(明确给出个数后拒绝 —— 它会污染整个结果)。
• 形状严格:不对 1-D 与 2-D 做隐式提升或广播(向量槽位收到矩阵、矩阵槽位收到向量都是 ValueError;请显式 reshape)。
• 尺寸上限:接受矩阵的算子与 stat_histogram 的 bins,超过 mathops.MAX_ELEMENTS(2^26 ≈ 6700 万个元素)即 ValueError。
• 示例数据目录(下载 URL / 许可证) —— 2-D 用 skimage.data(BSD/公有领域)加合成图,3-D 给出真实数据源(Stanford/PDS 等)的下载 URL。
• 算子来历与参考文献 —— 该算子族所依据的研究/方法出处。
• 算法的正典(作者、年份)与用途见上面的族使用指南。
• transforms_tour — py -3.11 examples/transforms_tour.py
table 作为输入)dynsys_poincare_section · dwt_inverse · chebyshev_eval_nd
transform)abel_transform · abel_inverse · abel_inverse_image · abel_revolve · tf_poles_zeros · tf_freq_response · tf_impulse_response · tf_step_response
*Provenance: mathtransforms.py — MATH 算子登记表。本条目由 tools/opdocs.py md 自动生成(请勿手工编辑)。*
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