numerics op• 資料種類:signal × signal → table
• 呼叫: import fullseye as fs; fs.ledger.integrate_hamiltonian(q0, p0, dt: 'float' = 0.05, n_steps: 'int' = 1000, *, system: 'str' = 'harmonic', method: 'str' = 'verlet', **params) -> 'dict'(要直接呼叫實作,import mathnumerics; mathnumerics.integrate_hamiltonian(q0, p0, dt: 'float' = 0.05, n_steps: 'int' = 1000, *, system: 'str' = 'harmonic', method: 'str' = 'verlet', **params) -> 'dict';從台帳取用則 opsmath.get("integrate_hamiltonian"))
對帶名稱的哈密頓系統(質量 1)做時間積分。回傳值 {"t","q","p","energy","energy_drift"}。
method：
• "verlet" —— 速度 Verlet(辛、時間反演對稱)。能量誤差以 O(dt²) 保持有界地振盪，長時間也不增加。把 dt 設為負來執行，會回到原狀態(直到捨入誤差)。
• "euler" —— 顯式 Euler(用於比較的失敗例)。對諧振子，能量每步增大 (1 + ω²dt²) 倍，在相空間中呈向外的螺旋。
• "rk4" —— 古典 4 階 Runge–Kutta。短時間內非常精確，但由於不是辛的，能量在長時間中持續緩慢減少(不是有界的)。
system："harmonic"(omega)/ "pendulum"(omega)/ "kepler"(mu，2-D)。
門檻：Verlet 的能量誤差有界 / 時間反演可回到原狀 / Euler 的放大率為 (1 + ω²dt²)^n。
mathops 的每個運算子都先檢驗輸入再計算(不讓任何東西無聲通過):
• complex 輸入一律 ValueError —— 強制轉成 float64 會無聲丟掉虛部(numpy 只發一個 ComplexWarning,然後回傳一個「看似合理卻是錯的」實數)。請明確寫出 .real/.imag/abs(),或改用支援複數的 complexops。
• 含被遮罩元素的 masked array 一律 ValueError —— 拒絕「剝掉遮罩直接使用下面原值」的隱式轉換。請明確選擇填補還是丟棄。
• 所有輸入中的 NaN/Inf 一律 ValueError(明確給出個數後拒絕 —— 它會汙染整個結果)。
• 形狀嚴格:不對 1-D 與 2-D 做隱式提升或廣播(向量槽位收到矩陣、矩陣槽位收到向量都是 ValueError;請明確 reshape)。
• 尺寸上限:接受矩陣的運算子與 stat_histogram 的 bins,超過 mathops.MAX_ELEMENTS(2^26 ≈ 6700 萬個元素)即 ValueError。
• 範例資料目錄(下載 URL / 授權) —— 2-D 用 skimage.data(BSD/公有領域)加合成圖,3-D 給出真實資料源(Stanford/PDS 等)的下載 URL。
• 運算子來歷與參考文獻 —— 該運算子族所依據的研究/方法出處。
• 演算法的正典(作者、年份)與用途見上面的族使用指南。
• numerics_tour — py -3.11 examples/numerics_tour.py
table 作為輸入)dynsys_poincare_section · dwt_inverse · chebyshev_eval_nd
numerics)erf · erfc · bessel · gauss_quadrature · gauss_cubature · chebyshev_coeffs_nd · chebyshev_eval_nd · low_discrepancy
*Provenance: mathnumerics.py — MATH 運算子登記表。本條目由 tools/opdocs.py md 自動產生(請勿手動編輯)。*
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