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Eine Funktion (= Abbildung) kann als Menge von Wertepaaren \((x,y)\) mit \(x\in X\) (Definitionsmenge) und \(y\in Y\) (Wertemenge) identifiziert werden. Wichtig ist die Eindeutigkeit: für ein \(x\) gibt es genau ein \(y\). \(x\) kann man aus einer Menge frei wählen. Man nennt \(x\) unabhängiger Wert, Urbild, Veränderliche, Argument oder Stelle. \(y\) ist durch \(x\) bestimmt. Es ist keine zusätzliche Information notwendig. Das macht letztendlich den Begriff Funktion wichtig. Man nennt \(y\) abhängige Variable, Bild oder Funktionswert.
Ist diese Eindeutigkeit nicht gegeben, dann spricht man von einer Relation.
Ein Funktion \(f\) hat ein Richtung von der Menge aller \(x\) (\(X\)) auf die Menge aller \(y\) (\(Y\)). Man schreibt \(f:X\rightarrow Y\).
Die Wertepaare können normalerweise nicht alle angegeben werden, deshalb beschreibt man eine Funktion mit einer Rechenvorschrift, d.h. einem analytischen Ausdruck, z.B. \(y=x^2+1\). Das ist im Grunde ein Algorithmus, ein kleines Programm.
Grundkonzepte:
Definitionsmenge
Wertemenge
Abbildung
Wenn man keinen eigenen Buchstabe \(f\) für die Funktionen haben will, kann man auch schreiben: \(y(x)\), d.h. die Klammern sagen aus, dass \(y\) sich aus \(x\) eindeutig ergibt, d.h. Funktion von \(x\) ist. Manchmal kann \(f\) die Funktion meinen oder den Funktionswert.
Konzentriert man sich nur auf die Abbildung, so schreibt man statt \(g(f(x))\) auch \(g\circ f\) und das heißt: bilde zuerst mittels \(f\), dann mittels \(g\) ab, d.h. von rechts nach links in beiden Schreibweisen.
Es kann mehrere \(x\) mit gleichem \(y\) geben und es ist immer noch eine Funktion. Gibt es nur ein Urbild \(x\) für ein Bild \(y\), dann ist die Funktion linkseindeutig (injektive), d.h. sie bewart Unterscheidbarkeit oder verliert nicht an Information. Wird darüber hinaus noch jedes element der Bildmenge erreicht (surjektiv), dann ist die Funktion unkehrbar eindeutig, eineindeutig oder bijektiv. Dann kann man auch \(y\) beliebig wählen und \(x\) ist dadurch bestimmt (\(x(y)\), Umkehrfunktion).
Wenn die Bilder von Elementen, die sich nahe sind, auch nahe beisammen sind, dann ist die Funktion stetig. Nahe ist intuitiv, muss aber mathematisch erst definiert werden. Das geschieht über eine Metrik \(d\) (\(d(x,y)\ge 0\), \(d(x,y)=d(y,x)\) und \(d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)\), z.B. \(d(x,y)=|y-x|\)) (oder auch abstrakter in der Topologie über eine Menge von (offenen) ineinander verschachtelten Mengen.)
Stetigkeit bei \(x\)
Für jedes \(\varepsilon > 0\) gibt es eine \(\delta\), so dass für alle y mit \(d(x,y)<\delta\) gilt: \(d(f(x),f(y))<\varepsilon\).
Für jede \(\varepsilon\)-Umgebung gibt es eine \(\delta\)-Umgebung.
Eine Funktion setzt keine Ordnung voraus. Ist sie aber gegeben, dann sagt man eine Funktion ist (streng) monoton steigend, wenn aus \(x\le y\) (\(x<y\)) folgt: \(f(x)\le f(y)\) (\(f(x)<f(y)\)). (Streng) monoton fallend wird analog definiert.
Verwandt mit Funktion ist Morphismus ({{!util.a("r.cs")}}).
Zur graphischen Darstellung einer Funktion in einem Koordinatensystem:
Werden die Werte der beteiligten Variablen \(X\) und \(Y\) mittels einer Einheit auf Zahlen abgebildet
Es wird eine Längeneinheit für die Darstellung gewählt (z.B. cm). Das Verhältnis dieser Längeneinheit zur realen Einheit (kg, km, m/s,…) ist der Maßstab.
Für einen Wert der unabhängigen Variablen \(X\) geht man den Zahlenwert in dieser Längeneinheit nach links (\(x\)-Koordinate, Abszisse).
für einen Wert der abhängige Variable \(Y\) geht man den Zahlenwert in dieser Längeneinheit nach oben (\(y\)-Koordinate, Ordinate).
Das wiederholt man für einige Werte und man erhält Punkte Die \((x,y)\)-Paare dieser Punkte kann man als Zwischenschritt auch in eine Tabelle eintragen (Wertetabelle).
Weil es sich meistens um stetige Funktionen handelt, kann man eine Kurve durch diese Punkte legen. Ist die Kurve eine Gerade, dann spricht man von einer linearen Funktion.
Beispiele für Graphen von bestimmten grundlegenden Funktionstypen mit einer unabhängigen Variablen gibt es hier: {{!util.a("r.cf")}}.