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Wir Menschen verarbeiten Information und haben die Regeln dazu abstrahiert und Gesetzmäßigkeiten entdeckt. Das Resultat ist die Mathematik.
Der Computer verarbeitet auch Informationen und kann die Ergebnisse der Mathematik anwenden. Er kann auch schon genutzt werden, um neu Regeln zu entdecken, oder um Wege, Beweise, zu bekannten Zusammenhängen zu finden.
Die Computerwissenshaft Informatik kann in der Hinsicht als Teilgebiet der Mathematik angesehen werden, jetzt mit vielen Erweiterungen welche speziell auf die Eigenheiten der Informationsverarbeitung von Computern eingeht.
Weil der Mensch jetzt den Computer hat, werden nicht nur Rechnungen sondern zunehmend formalisierte Denkprozesse dem Computer überlassen. Auch eigenes Lernen, Abstrahieren und Synthetisieren (kreative Aufgaben) kann der Computer übernehmen, wenn auch derzeit noch wenig.
Der Computer macht also nicht nur Rechnen unglaublich schneller, sondern er hat das Potential aller Denkfähigkeit, die Menschen besitzen.
Die Mathematik beschäftigt sich also mit Informationsverabeitung. Aber was ist Information?
Die Kommunikation zwischen zwei Menschen, bei der Information ausgetauscht wird, kann auf einen elementaren Prozess reduziert werden: den Auswahlprozess (Selektion, Entscheidung)
Es braucht eine
Menge, aus der ausgewählt werden kann (Angebot, Auswahl, Selektion).
Das Auswahlverfahren (Selektion, Entscheidung)
Die Auswahl (Selektion) ist ein wiederholter Vorgang. Ein Element wird exklusiv ausgweählt (nur eins) und jedes Element kommt dran. Die Summe aller Auswahlvorgänge ist eine Abbildung.
Hinweis
Die kleinste Anzahl aus der man noch auswählen kann ist 2. Dashalb ist da bit auch die kleinste Informationseinheit.
Der Sender wählt aus Konzepten in seinem Kopf aus, bildet diese auf Worte ab, welche dann mittels Lauten oder Schriftzeichen kodiert und gesendet werden.
Der Empfänger macht den umgekehrten weg.
Laute, Schriftzeichen und Ziffern sind dazu da, um eine Vielheit zu erzeugen (Wörter, Zahlen), auf die Konzepte abgebildet werden können.
Hinweis
Mit Zahlen kann man alles auswählen, was man mit Worten auswählen kann, etwa indem man die Elemente in eine Reihe bringt und dann mit der Zahl eine Position auswählt. Worte werden assiziativ verwendet, abar auch das geht mit Zahlen.
Eigentlich arbeiten alle dynamischen System auf diese Art. Es gibt Mengen von möglichen Zuständen und Selektion. Beispiele:
In der Biologie: Varianten durch Mutation und Selektion durch die natürliche Umgebung, die Artgenossen und das Biotop
In der Wirtschaft: Angebot und Nachfrage
In der Gesellschaft: Formen der Organisation und deren Zulauf
In der Politik: Politiker und Wähler
In der Wissenschaft: Theorien und deren Nützlichkeit zur Erklärung von Phänomenen
Ideen und deren Befürworter
Gedanken im eigenen Kopf und deren Bestätigung durch Erfahrungen
…
Seit der Quantenmechanik weiß man, dass der Zufall ein Prinzip der Natur ist, dass nicht alles vorbestimmt ist, sondern dass die Auswahlprozesse wirklich neue Kombinationen enstehen lassen, flüchtige und auch bleibende.
Die Natur verarbeitet Information, indem sie Zustände verteilt. In diesem Sinne ist das Universum vergleichbar mit einem Computer oder mit Tieren einschließlich dem Menschen, oder besser, letztere beherbergen das gleiche Prinzip.
\(\Delta Q=T\Delta S\) aus der klassischen Thermodynamik sagt aus, dass die Energieübertragung (Wärmefluss) proportional zur Entropieänderung ist mit Temperatur (in °K) als Proportionalitätsfaktor.
In einer etwas philosophischen Begrifflichkeitsunschärfe kann man diese physikalischen Begriffe folgendermaßen deuten:
Energie = Anzahl der möglichen Zustände (Größe der Menge, Informationsgehalt)
Entropie = deren Verteilung = Information
Auswahlverfahren = Selektion = Energieübertragung = Informationsübertragung als Weg zur Erhöhung der Entropie
Als elementare Einheit der Information(sübertragung) haben wir
Menge
Auswahl
erkannt.
In welchem Bezug steht das zur Mathematik?
Die Menge finden wir in der Mengenlehre als Fundament der Mathematik.
Um Elemente aus der Menge auszuwählen, kann man jedem Element ein bit zuordnen und dann eine Auswahl mit 0 (nicht verwendet) und 1 (verwendet) codieren. Mit weniger bits kommt man aus, wenn man herausfindet, welche Elemente sich gegenseitig ausschließen.
Eine Menge, aus der in einem Kontext nur ein Element ausgewählt werden kann, wird mit Variable bezeichnet. Das Element das ausgewählt wird heißt Wert.
Variable
Variablen bestehen aus Werten.
Gemeint sind aber nicht Zahlen sondern die realen Dinge. Erst über eine Abbildung wird den realen Werten einer realen Variablen durch Vergleich mit Einheiten eine Zahl zugeordnet (Koordinate).
Die Mathematik beschreibt die Realität indem Variablen ausfindig gemacht werden und Abhängigkeit zwischen ihnen aufgestellt werden.
Ein wichtiger Aspekt der Informationsverarbeitung ist die Abstraktion. Durch Vergleich werden Gemeinsamkeiten gefunden und diese dienen dann zum Wiedererkennen. In der Programmierung gibt es eine wichtige Regel: Don’t Repeat Yourself (DRY). So macht es auch die Mathematik. Muster die sich wiederholen, werden abstrakt beschrieben und konkrete Objekte werden zu Beispielen dieser Strukturen (z.B. Gruppe, Ring, Körper,…).
Das macht den Informationsaustausch (Kommunikation) viel effektiver. Statt wiederholt zu beschreiben, wie man in \(\mathbb{Z}\) mit \(+\) umgeht und in einem Vektorraum und in …, sagt man \((\mathbb{Z},+)\) und \((V,+)\) sind Gruppen.
Die Mathematik als Wissenschaft baut eine Struktur auf, jetzt im Sinne dass sukzessive neu Konzepte dazukommen, eine Menge aufgebaut wird, aus der man auswählen kann. Neue Arbeiten verwenden diese Konzepte (diese Sprache) und erweitern sie.
Struktur
Auch die sukzessive Erweiterung einer Struktur ist ein Entwicklungsvorgang allgemeiner dynamischer System (biologische Evolution, Wirtschaft, … sie Beispiele oben).
Damit sich komplexere und länger währende Strukturen entwickeln können, müssen diese die Energieverteilung (in der Wirtschaft die Geldverteilung) mit aufbauen, so dass Subsysteme richtig dosiert versorgt werden.
Um einen Wert aus einer Variablen zu bestimmen (auszuwählen) hat die Mathematik die Funktion. Das ist auch der Name in der Informatik, auch wenn in einer etwas anderen Bedeutung. Andere Namen sind Unterprogramm, Subroutine, Prozedur, …
Die Auswahl eines Wertes einer Variablen kann von mehreren anderen Variablen abhängen. Entsprechend haben Funktionen oft mehrere Parameter. Bei der Definition einer Funktion heißen sie formale Parameter. Eine erster Auswahlprozess passiert dann, wenn diese formalen Parameters beim Aufruf (Anweisung) zu aktuellen Werten anderer Variablen (aktuelle Parameter) abgebildet werden.
Funktionen in Programmiersprachen liefern nicht unbedingt den Wert einer Variable zurück, sondern oft mehrerer und es können diese Wert auch irgendwo abgespeichert werden, statt sie zurück zu liefen, was theoretisch aber das gleiche ist. Es ist jedoch ein gutes Design, Variablen und deren Abhängigkeiten zu benennen und damit von anderen zu trennen.
Funktionen bestehen aus Aufrufen anderer Funktionen.
hintereinander ausgeführte Aufrufe heißen Sequenz (engl. sequence).
Entscheidungen, welche Aufrufe unter welchen Bedingungen gemacht werden, heißen Verzweigung (engl. branch)
wiederholte Ausführung heißt Schleife (engl. loop)
Diese Algorithmik ist in der Mathematik überall versteckt, in Zahlen, in Ausdrücken und Symbolen (Polynome, \(\sqrt{}\), \(\lim\), \(\int\), …), in Sätzen und Beweisen. Die ganze Mathematik kann man sich als großes Programm vorstellen, aber leider das Meiste noch in einer Sprache, die der Computer nicht versteht.
Darstellung
Eine große Herausforderung ist die Darstellungen der Mathematik in eine Computersprache zu übertragen. Aber von letzteren gibt es auch viele, unter anderem solche die speziell für die Mathematik gemacht wurden.
Viele unterschiedliche Darstellungen erhöhen den Aufwand und vermindern die Anwendbarkeit in einem unvorstellbarem Ausmaß.
Das gleiche gilt auch für die vielen menschlichen Sprachen.
Zahlen
Bei der Einführung der Zahlen ist es naheliegend algorithmische Aspekte direkt mit der Anzahl zu verbinden:
Anzahl mit + und -: ganze Zahlen
Anzahl mit * und /: rationale Zahlen
Dann ergeben sich folgende Betrachtungen:
Zahlen sind elementare Anweisungen (2 hinzu, mal 2, …)
analytische Ausdrücke sind Programme/Funktionen
Termvereinfachung ist Programmvereinfachung, auch Profiling genannt
Gleichung
Die Gleichung ist eine Funktion, die das Ergebnis eines Vergleiches liefert. Äquivalenzumformungen von Gleichungen sind auch eine Art Profiling.
Gleichungen und Ungleichungen dienen auch dazu, implizit Mengen zu beschreiben.