complex op• Data kinds: cpoints × cpoints → cscalar
• Call: import fullseye as fs; fs.ledger.cplx_cauchy_value(z, fz, w) (implementation को सीधे call करना हो तो import mathops; mathops.cplx_cauchy_value(z, fz, w), registry से लेना हो तो opsmath.get("cplx_cauchy_value"))
Cauchy का integral formula: contour पर के मानों से contour के अंदर f(w) वापस निकालता है।
> नीचे का विस्तृत विवरण मूल text में है — सारांश और headings का अनुवाद हो चुका है।
f(w) = 1/(2*pi*i*n) ∮ f(zeta)/(zeta - w) dzeta where n is the winding number of the contour around *w* (Cauchy 1831; the division by n is what makes a doubly-wound contour give the same answer). Valid only if f is holomorphic on and inside the contour — nothing here can check that, and this is the honest limit of the op: fed values of a non-holomorphic f (or of one with a pole inside) it returns the integral, which is then simply *not* f(w).
Accuracy inherits the O(n^-2) chordal quadrature of cplx_contour_integral and degrades as *w* approaches the path (the integrand's peak sharpens): measured for f(z) = z**2 on a 256-point unit circle, the absolute error is 9.0e-6 at w = 0.3 and 8.1e-5 at w = 0.9 — 9x worse for a point 7x closer to the path (0.7 -> 0.1 of clearance). The blow-up is real but gradual; what it does *not* survive is clearance below one sampling step, which is refused.
Raises ValueError: *w* outside the contour (winding 0 — the integral is then 0 and returning it as "f(w)" would be a lie), *w* closer to the contour than one sampling step (the quadrature is meaningless there — refine the contour), plus everything cplx_winding_number and cplx_contour_integral refuse.
HALCON: no operator.
mathops के सभी ops गणना से पहले input की जाँच करते हैं (कुछ भी चुपचाप पास नहीं होता):
• complex input से ValueError — float64 में ज़बरदस्ती बदलने पर imaginary part चुपचाप छूट जाता है (numpy केवल ComplexWarning देता है और "सही दिखने वाला पर गलत" real number लौटाता है)। .real/.imag/abs() स्पष्ट रूप से लिखें, या complex data संभालने वाले complexops का उपयोग करें।
• masked array (masked elements वाला) से ValueError — mask हटाकर नीचे के raw values इस्तेमाल करने वाला implicit conversion अस्वीकार है। भरना है या हटाना है, यह स्पष्ट रूप से बताएँ।
• हर input पर NaN/Inf से ValueError (गिनती बताकर अस्वीकार — क्योंकि यह पूरे परिणाम में फैल जाता है)।
• Shape सख़्त है: 1-D और 2-D को implicit रूप से promote या broadcast नहीं किया जाता (vector slot में matrix या matrix slot में vector देने पर ValueError; reshape स्पष्ट रूप से करें)।
• Size की सीमा: matrix लेने वाले ops और stat_histogram के bins, mathops.MAX_ELEMENTS (2^26 ≈ 6.7 करोड़ elements) से अधिक होने पर ValueError देते हैं।
• Sample data catalog (DL URL / license) — 2-D के लिए skimage.data (BSD/public) + synthetic, 3-D के लिए real data sources (Stanford/PDS आदि) के DL URL।
• Operators का स्रोत और संदर्भ — इस op family के मूल research/methods के स्रोत।
• Algorithm का मानक स्रोत (लेखक, वर्ष) और उपयोग ऊपर की family usage guide में दिए गए हैं।
• math_complex — py -3.11 examples/math_complex.py
cscalar को input के रूप में लेते हैं)—
complex)cplx_contour_circle · cplx_poly_eval · cplx_contour_integral · cplx_winding_number · cplx_argument_principle · cplx_laurent_coeffs · cplx_joukowski · cplx_mobius
*Provenance: mathops.py — MATH operator registry. यह per-op note tools/opdocs.py md से अपने-आप generate होता है (हाथ से edit न करें)।*
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