complex op• Data kinds: cimage → measurement
• Call: import fullseye as fs; fs.ledger.cplx_cr_residual(f, spacing=1.0) (implementation को सीधे call करना हो तो import mathops; mathops.cplx_cr_residual(f, spacing=1.0), registry से लेना हो तो opsmath.get("cplx_cr_residual"))
sampled complex field का Cauchy-Riemann residual — "क्या यह field holomorphic है?" एक संख्या के रूप में।
> नीचे का विस्तृत विवरण मूल text में है — सारांश और headings का अनुवाद हो चुका है।
With f = u + i v sampled on a uniform grid, holomorphy means u_x = v_y and u_y = -v_x (Cauchy-Riemann). This returns the relative residual max(|u_x - v_y|, |u_y + v_x|) / max|grad| (central differences, numpy.gradient): 0 = the samples satisfy CR to the discretisation limit, 2 = the field is the conjugate of a holomorphic one (conj(z) gives exactly 2), values in between = partly analytic or noisy.
Grid convention (it decides the sign of the answer): f[i, j] is the field at z = x0 + j*spacing + i*spacing*1j — rows index the *increasing imaginary* axis, columns the real axis. Image arrays usually run rows *downward*; feeding one directly measures the conjugate field, whose residual is 2, not 0. Flip rows (f[::-1]) to use image data.
Discretisation, honestly: central differences are exact for polynomials of degree <= 2, so f = z**2 returns exactly 0; for higher order the residual floors at O(h^2 * |f'''|) (measured: f = z**3 on a [-1,1]^2 grid returns 1.7e-3 at h and 4.2e-4 at h/2 — a factor 4.00, the expected second order). Read a small value as "consistent with holomorphic at this resolution", never as proof.
A constant field returns 0.0 (it is holomorphic; the 0/0 of the normalisation is resolved by that limit, and stated here rather than left to numpy).
Raises ValueError: not a 2-D array, either dimension below 3 (no central difference exists), non-finite/masked input, over-cap size, non-finite or non-positive *spacing*.
HALCON: no operator (derivate_gauss supplies the real-valued derivatives one would build this from).
mathops के सभी ops गणना से पहले input की जाँच करते हैं (कुछ भी चुपचाप पास नहीं होता):
• complex input से ValueError — float64 में ज़बरदस्ती बदलने पर imaginary part चुपचाप छूट जाता है (numpy केवल ComplexWarning देता है और "सही दिखने वाला पर गलत" real number लौटाता है)। .real/.imag/abs() स्पष्ट रूप से लिखें, या complex data संभालने वाले complexops का उपयोग करें।
• masked array (masked elements वाला) से ValueError — mask हटाकर नीचे के raw values इस्तेमाल करने वाला implicit conversion अस्वीकार है। भरना है या हटाना है, यह स्पष्ट रूप से बताएँ।
• हर input पर NaN/Inf से ValueError (गिनती बताकर अस्वीकार — क्योंकि यह पूरे परिणाम में फैल जाता है)।
• Shape सख़्त है: 1-D और 2-D को implicit रूप से promote या broadcast नहीं किया जाता (vector slot में matrix या matrix slot में vector देने पर ValueError; reshape स्पष्ट रूप से करें)।
• Size की सीमा: matrix लेने वाले ops और stat_histogram के bins, mathops.MAX_ELEMENTS (2^26 ≈ 6.7 करोड़ elements) से अधिक होने पर ValueError देते हैं।
• Sample data catalog (DL URL / license) — 2-D के लिए skimage.data (BSD/public) + synthetic, 3-D के लिए real data sources (Stanford/PDS आदि) के DL URL।
• Operators का स्रोत और संदर्भ — इस op family के मूल research/methods के स्रोत।
• Algorithm का मानक स्रोत (लेखक, वर्ष) और उपयोग ऊपर की family usage guide में दिए गए हैं।
• math_complex — py -3.11 examples/math_complex.py
• poc_complex_plane_fields — py -3.11 examples/poc_complex_plane_fields.py
measurement को input के रूप में लेते हैं)—
complex)cplx_contour_circle · cplx_poly_eval · cplx_contour_integral · cplx_winding_number · cplx_cauchy_value · cplx_argument_principle · cplx_laurent_coeffs · cplx_joukowski
*Provenance: mathops.py — MATH operator registry. यह per-op note tools/opdocs.py md से अपने-आप generate होता है (हाथ से edit न करें)।*
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