complex op• Datenarten: cpoints × cpoints → table
• Aufruf: import mathops; mathops.cplx_laurent_coeffs(z, fz, kmin=-1, kmax=4) (oder opsmath.get("cplx_laurent_coeffs"))
Laurent- (und Taylor-)Koeffizienten auf einem gleichmäßig abgetasteten Kreis — Residuen inbegriffen.
> Die ausführliche Beschreibung unten ist der Originaltext — Zusammenfassung und Überschriften sind übersetzt.
For `f holomorphic on an annulus around c`,
`f(z) = sum_k c_k (z - c)^k` with
`c_k = 1/(2*pi*i) ∮ f(zeta)/(zeta - c)^(k+1) dzeta`. On a circle of
radius `r sampled at n` equally spaced angles this becomes a discrete
Fourier sum, `c_k = (1/(n r^k)) sum_j f_j exp(-i k theta_j)` — the
trapezoidal rule in the angle, where it converges geometrically rather
than as `O(n^-2)` (Trefethen & Weideman 2014, "The exponentially
convergent trapezoidal rule").
`c_-1 **is the residue** at c (when c` is the only singularity
inside), `c_k for k >= 0` are the Taylor coefficients
`f^(k)(c)/k!, and a non-zero c_-m for m > 1` reveals a pole of
order `m. Measured on the unit circle with f = 1/(z - 0.5)`,
`n = 64: c_-1 = 1 and c_-2 = 0.5` to 1e-16 (machine precision).
Returns a dict: `k (int64 orders, kmin..kmax) · c` (complex128
coefficients) · `center · radius`. The centre is the sample mean,
which is exact for a uniformly sampled circle.
Orientation, and how it differs from the rest of the family: the sum
runs over the sample *set*, not the sample *order*, so this op always
returns the coefficients of the positively oriented circle — the standard
definition — whatever order the points arrive in. Feed a clockwise circle
and `c_-1 still comes back +` the residue, while
`cplx_contour_integral / (2*pi*i) on the same points returns -` it
(verified). Both are right; they answer different questions (the intrinsic
coefficient vs the integral along *this* traversal). Do not cross-check one
against the other without fixing the orientation first.
Honest limitation — aliasing: the discrete sum cannot distinguish
`c_k from c_{k+n}`, so a coefficient carries the alias sum
`sum_m c_{k+m n} r^{m n}`. That is negligible for a rapidly converging
series (the `0.5^64` term above) and ruinous near the annulus boundary.
Requesting more than `n` coefficients is refused for the same reason.
Raises `ValueError`: the samples are not a uniformly spaced circle
(unequal radii or unequal angular gaps beyond `1e-8` relative — this op
is *not* valid on an arbitrary contour, and silently pretending otherwise
would return numbers that mean nothing), `kmin > kmax, more than n`
coefficients requested, non-integer orders, and a coefficient that
overflowed (`r^-k` for a small radius and a large negative order).
HALCON: no operator.
Jeder mathops-Operator prüft seine Eingabe vor der Berechnung (nichts rutscht stillschweigend durch):
• **Komplexe Eingaben lösen ValueError aus** — die Umwandlung nach float64 verwirft den Imaginärteil stillschweigend (numpy meldet nur eine ComplexWarning und liefert eine plausibel aussehende, falsche reelle Zahl). Schreiben Sie .real/.imag/abs() explizit oder nutzen Sie complexops.
• **Masked Arrays mit maskierten Elementen lösen ValueError aus** — die implizite Umwandlung, die die Maske abstreift und die Rohwerte darunter verwendet, wird abgelehnt. Geben Sie explizit an, ob gefüllt oder verworfen wird.
• **NaN/Inf löst bei jeder Eingabe ValueError aus** (mit Anzahl abgelehnt — es pflanzt sich durch das gesamte Ergebnis fort).
• Formen sind strikt: 1-D und 2-D werden nie implizit hochgestuft oder gebroadcastet (eine Matrix im Vektor-Slot oder ein Vektor im Matrix-Slot löst ValueError aus; reshapen Sie explizit).
• Größenobergrenze: Operatoren, die eine Matrix nehmen, sowie die stat_histogram-Bins lösen jenseits von mathops.MAX_ELEMENTS (2^26 ≈ 67 Mio. Elemente) ValueError aus.
• Leitfaden zur Familie math_metrology
• Katalog der Beispieldaten (Download-URLs / Lizenzen) — 2-D nutzt skimage.data (BSD/Public Domain) plus synthetische Bilder, 3-D nennt Download-URLs echter Datenquellen (Stanford, PDS, …).
• Herkunft und Literatur der Operatoren — die Quellen der Forschung/Verfahren, auf denen diese Operatorfamilie beruht.
• Der kanonische Algorithmus (Autor, Jahr) und seine Anwendungen stehen im Familienleitfaden oben.
• math_complex — py -3.11 examples/math_complex.py
table als Eingabe)—
complex)cplx_contour_circle · cplx_poly_eval · cplx_contour_integral · cplx_winding_number · cplx_cauchy_value · cplx_argument_principle · cplx_joukowski · cplx_mobius
*Provenance: mathops.py — MATH Operator-Registry. Diese Notiz wird von tools/opdocs.py md erzeugt (nicht von Hand bearbeiten).*
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